Revenons maintenant à l'équation = Let lame ere eo
qui existe entre les m racines de l'équation algébrique irréductible H, de degré premier #7. Nous savons, en vertu du corollaire I du n° 6, qu'aucun des m coefficients « n’est nul, et, en vertu des considérations exposées au n° 5, que les diverses substitutions $S du groupe G de l'équation H ne peuvent que multiplier X par des facteurs constants racines de l’unité. Soit K l’un de ces facteurs ; supposons qu'il soit une racine primitive 2°" de l’unité, en vertu du corollaire du théorème du n° 7, à divise m: donc
KW
0 — 1 ou à — m. Dans ce dernier cas, les m racines n,,n,,...,n,, ne for--
ment qu’un cycle : la substitution S est circulaire; elle remplace la racine »; par la racine »;,,; nous la désignerons par la notation
S — | LEE I | ou encore
tee Pate
THÉORÈME. — Le groupe G est formé par les puissances d’une seule
substitution circulaire entre les m racines.
1° En effet, je dis en premier lieu que G contient au moins une substitution S, qui multiplie X par une racine mi 0 de l'unité. Supposons, en effet, que toutes les substitutions de G multiplient X par l'unité. Considérons deux racines quelconques », et 1, dont la première a dans X le coef-
ficient «, et la seconde le coefficient 4. Puisque le groupe G est transitif,
il existera une substitution S', qui amène n; à la place de »,, et, en vertu de , \ . 0 Al ° .
l'hypothèse, cette substitution S’ multiplie X par 1; donc on a
Raisonnant de même sur les diverses racines, on voit sans peine que les coefficients de toutes les racines seraient égaux : cela est contraire à l'hypothèse faite au n° 4, qui spécifie que la somme des racines n’est pas nulle.
Donc G contient au moins une substitution, qui multiplie X par une racine 2° 0 de l’unité, c’est-à-dire une substitution circulaire entre les
m racines. De plus, en vertu de la remarque du théorème I du n° 7, on a X = m + 0h, + 0m y
Tous les coefficients sont des racines m°*° de l’unité et sont tous inégaux.
2° Le groupe G ne peut contenir aucune substitution qui multiplie X par 1; en effet, une pareille substitution ne déplacerait que les lettres affectées dans X de coefficients égaux ; or tous les coefficients des diverses racines sont inégaux dans X; donc la substitution se réduit à la substitu: tion 1, qui laisse chaque racine à sa place.
3° Le groupe G ne peut contenir deux substitutions circulaires distinctes. Supposons, en effet, qu’il en existe deux, S et S’. Les puissances le 0,000, 0 comultiplieft. À paril, 0,062, Ua.
Cela posé, reprenons la substitution circulaire S”; elle multiplie X par une racine m°"° de l’unité, c’est-à-dire par un terme 8“ de la série 1, 8, &, ...,8"", Donc S’ et S° multiplient X par un même facteur, donc ST'S* multiplie X par 1, et, en vertu du raisonnement que nous venons de faire, la substitution S7'S" se réduit à la substitution 1, qui laisse chaque lettre à sa place. Donc S’ est précisément la substitution S", c’est-àdire une puissance de $.
Ainsi donc le groupe G ne peut contenir que les puissances de la sub-
stitution circulaire S. C.10.. FD.
9. Reprenons le groupe G d’une équation algébrique quelconque. A. 3
1/ I. AUTONNE.
Fixons, a priori, certaines quantités z,, z,,%,, -.., que j'appellerai adjointes à l'équation. Il existera toujours un groupe G’ de substitutions entre les racines, tel que toute fonction des racines dont les substitutions de ce groupe ne changent pas la valeur soit exprimable rationnellement en fonction des coefficients de l'équation et des quantités adjointes, et réciproquement (voir Jorpan, Traité des substitutions, pages 253 et 255).
Le groupe G’ sera d’ailleurs contenu dans le groupe G, et l’on dira que l’adjonction des quantités z,, z,, z,, ..… a réduit le groupe G au groupe G.
On a, à cet égard, le théorème suivant, pour la démonstration duquel
je renvoie au 7raité des substitutions, p. 267:
THéorkme. — Soient G le groupe d'une expression algébrique, ®, une fonction rationnelle quelconque des racines : 1° celles des substitutions de G qui n'altèrent pas @, forment un groupe G'; 2° l’adjonction de 9,
réduira le groupe G de l'équation précisément à G.
On sait, de plus, qu’on appelle équation abélienne une équation irréductible dont deux racines sont liées par une relation rationnelle
IPN PCR
Après avoir reproduit ces définitions, je vais passer à l’étude de l’équation algébrique irréductible H, dont le groupe est formé par les puissances
d’une seule substitution circulaire re ie op à
THéorbme I. — Z'équation H est abélienne et toutes les m racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de l’une quelconque d’entre
elles.
En effet, adjoignons à l’équation la racine 1, par exemple. 1//adjonction de cette racine réduit le groupe G au groupe formé par les substitutions qui ne déplacent pas n,. Mais toutes les substitutions du groupe G (excepté la substitution 1) déplacent toutes les racines. Donc, par l’adjonction de la racine »,, le groupe G se réduit à la seule substitution 1, et toutes les racines s'expriment rationnellement en fonction de 1», et des coefficients de H.
[ex à
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. Fan THÉORÈME II. — L'équation H est résoluble algébriquement.
En effet, formons le système des » — 1 fonctions
Ù, —=n,+ Ûn, + Pan, +... +8 tn, (Or) NE ET nn finies NE prenne ie MONNIER Se EP a à On Op,
| ARE 2 ", sis gr—1 ", “ne Dore FH PNARENE DOTE
parmi ces 72 — 1 fonctions, il y en aura une qui sera précisément X et qui sera nulle, mais les m— 2 autres ne seront pas nulles. Les diverses substitutions de G, c’est-à-dire les puissances successives de la substitution circulaire S, multiplient les fonctions U,, U,, ... par des racines m°"® de l'unité; done ces substitutions n’altèrent pas la valeur de U”, U”, .….; les fonctions U”, U”, ... étant invariables par toutes les substitutions du groupe G, s’exprimeront rationnellement en fonction des coeffcients de H.
Voici d’ailleurs comment pourrait s'effectuer le calcul explicite de la fonction
D (0 + Du, + Din, RO Je,
Les m—1 racines n,,n,,n,,...,n s'expriment rationnellement en
In—1
fonction de », et, en portant ces valeurs dans
LEO ENTRE j'aurai
U7 =. Pr, 8),
Y désignant une fonction rationnelle. La fonction U}' est invariable par la substitution S — (1,n,...1,,); donc on aura aussi D a 0) 40).
En Ÿ (ro, 6!) cts F(n1:0!) + HT (nm 1100) RU — Le #
in
16 L. AUTONNE.
La quantité w, sera une fonction symétrique des 72 racines, c’est-à-dire une fonction rationnelle des coefficients de H.
On calculera de même toutes les quantités U, et l’on formera le sys-
tème suivant d'équations linéaires et à coefficients constants :
—] 2(1n—1) —1)(22-—1 mn MS Din, DONNEES 7
L'une des quantités w sera d’ailleurs nulle. Si au système (2) j'ajoute encore l’équation
Hi mate nine Fly = A),
J'aurai un système de »# équations linéaires à 7» inconnues. Ce système fournira toujours pour les inconnues #,, 1,,1,, ..., n,, des valeurs finies et déterminées, car toutes les équations linéaires du système sont distinctes. Si, en effet, il n’en était pas ainsi, on aurait
1 0 g? pret
I g? ÿ' : g2en—1) D—\|1 9 07 ne DAPAUNEZS SE
I Qi Q? ({n—1) ger—1 )
I I 1 ee To
Or on sait qu’un pareil déterminant ne saurait être nul.
Une conséquence remarquable de ce qui précède est la suivante : l’équation différentielle Y possède par hypothèse un système fondamental formé exclusivement de racines de l'équation algébrique H; on voit done
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. ol
que toutes les intégrales de ce système sont des fonctions rationnelles de la
variable et de l’une quelconque d’entre elles.
10. Tnéorème. — Z'équation différentielle Y possede un système fondamental d'intégrales, formé d'une fonction rationnelle de la variable et de m— 2 racines m°" de fonctions rationnelles de la variable. La fonc-
tion rationnelle sera la fonction À,, et les m— 2 autres intégrales du
système seront les m— 2 fonctions uj', qui ne sont pas nulles.
En effet, on voit immédiatement que ces fonctions sont des intégrales de Y ; il reste à prouver que ce sont là des intégrales linéairement indépendantes.
Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi et reprenons l'équation
= X = n,+0n, +Pn, +... +0 nr, —=o.
il L I L
Im nt [412
Puisque les intégrales A,, 47, U7, u%, ..., un, ne Sont pas linéairement indépendantes, on pourra déterminer un système de m — 1 constantes 33 gs ce. Amy QUI ne seront pas toutes nulles, et telles que l’on ait iden-
tiquement
He. u" + AU Alma, A0, c’est-à-dire ACT PA PEN CRE + n, [PA + a, +... HOT +2,
ne AT he cime eo es Due Se sn lee se oue eo ep, [O2 + 09a, +... Ua, +2, ] MSG ARA EE 4 M RE de
ne, Laure pra Er sx l=;0,
Voilà une équation linéaire, homogène et à coefficients constants, qui existe entre les racines; cette équation ne saurait donc être distincte de X,
et l’on peut l'identifier avec — À,X par exemple, À, désignant une con-
Pa
stante. Identifiant, nous obtenons le système
À A ee ee in le 0 ÿa,+ 8, + a, +... HOPVA HA,= 0,
DA ie gi 0x + Der DES D AR si A O.
Ce système ne peut donner pour l’un quelconque des coefficients à de
valeur différente de zéro que si le déterminant
Il I il I 1 ô RM
D —° ==\0 n î Diet ger—1)2 |
mais nous avons déjà vu qu’un tel déterminant ne saurait être nul, et le théorème est démontré.
A1. Toute la discussion précédente peut se résumer dans la proposition qui suit :
THÉéoRÈME. — Soit Ÿ une équation différentielle linéaire a coefficients rationnels, d'ordre p, qui possède : 1° une intégrale rationnelle À, ; s° un système fondamental exclusivement formé de racines d’une équation algébrique trréductible dont le degré est un nombre premier m = p + 1; l’équation différentielle possède un système fondamental exclusivement
formé de m—1 racines m°"* de fonctions rationnelles de la variable, jointes à l'intégrale rationnelle À, .
Si l’on se reporte au théorème de M. Jordan, cité dans l'introduction du présent travail, on voit que l’équation auxiliaire X — o est, dans le cas que je considère, du premier degré, et que le degré de diverses équations binômes est toujours /n.
Il est d’ailleurs facile de vérifier qu'une équation différentielle linéaire qui admet un système fondamental d’intégrales, défini comme au théorème précédent, a bien tous ses coefficients rationnels.
On sait, en effet, qu’une équation différentielle linéaire d'ordre p qui admettrait un système fondamental formé par les p fonctions de x,
y: 9 Yo 9 CECI) Ÿp°
peut se mettre sous la forme d’un déterminant et s’écrire
dPy dry, dPY»
dx? dx " dxpP Y= ia), 2 mec dx! dx!
dy dy»
Or posons SP TR RE
Yi=AÀ,, VS = Um Pa = Us Vi = l— (2,3,...,m—1).
Il viendra, en différentiant (: — entier quelconque),
AL . = 2 p(x),
g, désignant une fonction rationnelle. Substituant dans le déterminant les valeurs successives des diverses dérivées, et supprimant le facteur y,
commun à tous les éléments d’une colonne, nous obtenons un détermi-
nant dont tous les éléments sont rationnels. CONTE ND: Application. — Supposons m — 3 et prenons l'équation an + 3A,r + A,n+A,—o.
Les équations
NUM, Lan Ah, O0, — JA —=n,+n, +n,,
20 L, AUTONNE.
nous fournissent, pour », par exemple, n = an, + bA,.
Substituons dans (1) cette valeur, il vient
ja | n°+ 3a?bA, | n° + 3ab*A° |: + b°A + 3a°A, + 6abA° + 3b*A° (2) — 0.
| PNA + bA, À, one
Identifions (2) avec (1), puisque (1) est irréductible par hypothèse, il
vient
JA bAT-EOG A = SN a 3ab* A+ GabA+aA,= AÀ,a", b°A°+ 3b*A+ DA A,+A,—= À,a*.
Je puis toujours supposer a7 0, car si a — 0, une racine serait ration-
nelle, ce qui est absurde; je divise donc par a etil vient, puisque A ,7o;
b+i—a, (3) (3b°+— 6b)A—(a—:)A,, (b°+ 3b*)A+DbA A, —A,(a — 1).
On ne peut avoir a —1, car alors b—o et il y aurait deux racines
égales. On ne peut avoir a — — 1, car alors b — — 2 et les trois racines seraient n,, — 1, — 2À,, — À,,ce quiest absurde. Supposons maintenart a— 10, lès équations (3),donnent sans peme A = At d’où
Hi SA no A y A A EC
l'équation ne serait plus irréductible.
Supposns donc a’ —1, la seconde des équations (3) fournit A, — 34°
et la troisième devient une identité : donc H prend la forme HS B An A ,—0,, (n-+ A,) + A, — A —0,
c’est-à-dire (n+u) +9 —=o, u et p désignant des fonctions rationnelles, et il vient pour les trois racines il 1 3 8
Î RU Ur 0, — 4 — j"98, (ne D
On voit que l'équation différentielle Y d'ordre p = 2 admet le Sys-
à S NUE . . . . 4 tème fondamental & et /v, qui a bien la forme indiquée.
