Convenons d’abord des notations suivantes

N, désigne le système des 2, racines qui entrent dans X et Y, N, » 1, » ’ X seul}, Ni ) ñ, » Y seul.

En vertu du corollaire II du n° 6, on a Ni R , r—m.

Lemme 1. — S'il existe une substitution de la forme

SAR COX D Ye |

dans le groupe T (a étant une racine primitive a“, b une racine primitive £“*° de l'unité), le plus grand commun diviseur à des nombres « et £ ne peut être que l'unité.

Reprenons, en effet, les trois systèmes N,, N,, N, formés respectivement par »,, 2,, 2, racines ; je dis, en premier lieu, que la substitution S () ne saurait échanger entre elles deux racines, qui appartiennent à deux systèmes différents. Soit X’—aX et Y’—bY ce que deviennent X et Y par l'effet de la substitution S; supposons un instant que S fasse entrer une racine », du système N, dans le système N,. La

racine », figurera à la fois dans X’ et dans Y”; or cela est impossible,

(1) Voir Vota (3).

> 1: AUTONNE.

puisque l'on a identiquement Y/— bY : », figurerait dans le premier membre de cette identité sans figurer dans le second, ce qui est absurde. On démontrerait de même que S ne saurait faire entrer une racine de N, dans le système N, ni dans le système N, ; donc S permute entre elles les

diverses racines d’un même système N,, N,ou N.. Puisqu’il en est ainsi, chacun des systèmes N,, N,, N, comprend un

nombre entier de cycles deS, et, en vertu du théorème IT du n° 7,

a divise 7, et A,, divise note . . . ° . ° \ Q ?

et à, qui divise «et B, divise aussi 2, + 7, »,, c'est-à-dire 7. Cela n’est

possible que s10 — 1 ou d — m. Dans ce dernier cas, 2,— n7,—=0,n,—= m, et la substitution S est circulaire entre les m racines. Si nous écartons cette

hypothèse, on voit que à est toujours égal à l'unité, et les nombres a et B

sont premiers entre eux.

Corollaire. — S'il existe dans le groupe T une substitution de la forme

RME Va na VE on a forcément À — 1.

Supposons, en effet, que À soit une racine primitive °° de l’unité; en vertu du lemme précédent, à divise m : done, si A n’est pas égal à l'unité, A —6, (8"— 1). Mais, dans ce dernier cas, la substitution est circulaire, et, en vertu de la remarque du théorème I du n° 7, il vient pour X et Y la

forme suivante

X = n, 5 001, 0 n Ep, Vin Unie On 1, OEM TER les équations X —o, Ÿ — 0 ne sont plus distinctes, ce qui est absurde. Ainsi donc À = 1.

Lemme II. — Sile groupe l contient une substitution T de la forme

T=|XY aY 8X|,

on a n,—=n,,:

Je dis en premier lieu que T déplace toutes les racines du système N,, par exemple, et les fait toutes entrer dans le système N,. Supposons, en effet, qu’il n'en soit point ainsi, et soit n, une racine de N, que T laisse immobile; appelons X’ et Y’ les transformées de X et de Y par la subsütution T; »; figurerait encore dans X’; or cela est absurde, car on a