C40-FF- D

15. TuéorÈme. — Le groupe octaédrique dérivé des substitutions a, A AB CE De ren ar mt MT =)

ne peut fournir aucun type d’équation H.

En effet, on démontrera, comme dans le cas précédent, que a = 1, que

À et B sont impossibles. Je dis que, de plus, G est aussi impossible. En

effet, l'équation caractéristique de C ést

ep 1 =] | S à E D) 2 ; . 0 1 +2 1 + 2 | < 2 ? \ « c’est-à-dire ‘ K° TT K — | —=O.

Les deux racines sont — x et — «? (æ*— 1) et sont des racines primitives

65 de l'unité. Soit donc X” et Y” la forme canonique de C, il viendra Û ue | x! 4 ne D Ne = ce? 174 | ;

or, en vertu du lemme I du n° 15, une telle substitution est impossible, puisque 6 ne divise pas 7.

Donc le groupe se réduit à la seule substitution D, c’est-à-dire au pre-

mier des cinq types de M. Jordan.

16. THéorÈème. — Le groupe icosaédrique dérivé des substitutions

DEAN au av le

B=IXY .Y, x}

HV raie YrenllonNist), XX Eu Ge Y uX — AY

| (A+ mu +1—=o)

ne peut fournir aucun type d'équations H.

En vertu du lemme I du n° 15, la substitution E est impossible; en vertu du corollaire du même lemme a — 1; on démontrera, comme dans le n° 44, que la substitution B est impossible. Le groupe se réduit donc à la seule substitution E. Cette substitution E elle-même est impossible ;

28 L. AUTONNE.

son équation caractéristique est, en effet,

À IN LL 7 — x — K

c’est-à-dire K'=}+u ——1, puisque A'+u io;

, DE . sa. . /4 4 les deux valeurs de K sont des racines 4°" de l’unité; si done X” et Y

sont la forme canonique de E, on à — | NUNT EST ne N7 F

ce qui est impossible (n° 13, lemme Î).

Après avoir ainsi écarté les trois derniers types de l’énumération de M. Jordan, je vais passer à la discussion des deux premiers, qui donnent chacun un type distinct d'équations H.

17. Je suppose que le groupe T se ramène au premier des cinq types de M. Jordan, c’est-a-dire qu’il ne contienne que des substitutions de la forme

beat are |

Je dis que dans ce cas X et Ÿ contiennent chacune toutes les » racines. En effet, reprenonsles notations N,,N,,N,,n,,n,,n, (n°15). Une quelconque des substitutions du groupe G permute entre elles diverses racines d’un même système (13, lemme [) et il n'existe pas de substitution capable d'échanger entre elles deux racines appartenant à deux systèmes différents N,, N,, N,. Donc, puisque le groupe G est transitif, il faut nécessairement que les systèmes N, et N, n'existent pas, d’où

On voit que nous sommes ramené à un cas qui est complètement identique au cas 2 — 1, traité dans la première Partie; l’on démontrera par des raisonnements identiques les propositions suivantes :

THÉORÈME I. — L’équation H est abélienne et résoluble algébriquement (n® 8 et 9), puisqu'elle a son groupe exclusivement formé par les puissances d'une seule substitution circulaire entre les m racines.

THéorbue IT. — ZL'équation différentielle linéaire Y admettra un système fondamental d'intégrales, formé d’une fonction rationnelle À, de x, et de m— 3 intégrales Vu, en désignant par u, une fonction rationnelle de la variable x.

Rien, en effet, n’est changé aux raisonnements faits plus haut (n° 10),

si ce n’est qu'il y a deux fonctions &, qui sont nulles.

18. Je vais actuellement rechercher la nature du groupe G de l’équauon H, quand son isomorphe F, défini de la façon qu’on sait, appartient au second des cinq types de l’énumération de M. Jordan. Dans ce cas T ne

contient que des substitutions de la forme DANCE jointes à une substitution DES ET px)

Lemme. — Chacune des équations X — o et Ÿ — o contient toutes les m racines.

Reprenons, en effet, les notations connues N,, N,,N,,n,,n,,n, (15). Les substitations telles que S permutent entre elles des racines d’un même système N,, N, ou N, (15, lemme I); la substitution T permute entre elles des racines du système N,, et fait entrer toutes les racines de N, dans le système N,, et réciproquement (15, lemme If). Aucune substitution du groupe G ne peut faire passer, par conséquent, une racine de N, dans N, ou N,, et réciproquement. Le groupe G est transitif : donc ou le système N, manque, ou bien les deux systèmes N, et N,. Mais on a (15, lemme Il) #,=n,— 7, n,+ 2y— 1m, et il est absurde de supposer

l'absence de N,, car, si 7, — 0, il reste

ce qui est impossible, Donc #,= n,—— 0, et le lemme est démontré. A. )

30 L. AUTONNE.

Puisque X et YŸ contiennent chacune toutes les » racines, on démon trera sans aucune peine, et par des raisonnements identiques à ceux

du n° 8, que toutes les substitutions de la forme EN NEC NE

sont des puissances d’une seule substitution circulaire entre les 77 racines ; a et b sont des racines #"“" de l’unité, X et Y sont de la forme

X— EE Le On, ce fn, SR Em (UE ï), N: =— UP —- Bu, = y, + Ti: = gen y

On remarque qu'il n’existe pas de coefficients égaux dans X et dans Y. Passons maintenant à la discussion de la substitution T.

19. Zemme 1. — La substitution T? laisse à sa place chacune des m racines.

En effet, puisque A red HD DEV ERPAEe

Or «'b'= 1 (15, corollaire du lemme 1) : done T? ne déplace que les racines qui ont des coefficients égaux dans X et dans Y ; mais nous venons de voir que les coefficients de X sont tous inégaux ; il en est de même des coefficients de Y donc T° ne déplace aucune racine. COQ HD

Lemme 11. — Les coefficients a’ et b’ sont des racines n°" de l’unité. En effet, a’ et b’ sont des rapports de racines m°" de l'unité et & — &. Deplus ab 71, d'où =