LA
Cela posé, reprenons les 77 racines n,,n,, ...,m,, ..., PTE AE T remplace l'indice à par l'indice 7; cherchons à exprimer } en fonction
de 2,
20. THÉORÈME. — La substitution % est égale au produit S"'tdes deux
substitutions Set t, dont l’une
SE) 2 + mu | (mod m)
% est une substitution circulaire entre les w racines, et dont l'autre
t—|i —:| (modm)
ne déplace pas l'indice zéro, mais déplace tous les m —1 autres indices.
En effet, X et Y sont de la forme
Non Un RE... Eye on, M y, À + JE. rs me BP an, à X=...+n+..+ fn +..., Y=...+ Fn+.. + ne... ;
opérant la substitution
Part (modrx)
il vient X'—.. + Pa, +...
Y'—. À + fn +. rite D'ailleurs AY — ÿY — Vo + 6 ne Ce bDX — EX —.. By +.
Donc £ et} sont liés par la relation suivante obtenue en identifiant X’ avec a Y et Y’ avec D’X, | gt gPe, DER gui,
B] GI, aj +u==fit (modm).
Donc T peut se mettre sous l’une des deux formes
Ver ns (mod) ou (EEE + (modm),
59 L. AUTONNE.
ce qui exige
eh, ne (mod7n).
D'ailleurs Tir mit es ) (mod m),
et, comme T° laisse chaque indice à sa place,
5 1 æa+—£=0 (modm), donc GE x, etl’ona T2 —i—° (modm).
Multipliant les deux termes de É par l’entier ’ tel que au =1 (modm),
il. vient LE) 56 ve, vase GC. QE D:
Exemple. — Prenons m=— 5, m— 3, « —2,il viendra alors Hi et T=|12 7-1, (mod).
Les équations X et Ÿ seront X—=n,+ n, + bn, + On, +6 n,, Y=n, + Pn, + On, +, +Pn,.
Effectuons la substitution | T=li —i4i|= (01) (3) (26), il vient X'=n, + 0n, + d'u, + On, + n, = Pin, + Pr, + bn, + dr, + Pn,) =PY —0VY, Y'=n,+ Pn, + ôn, + On, + Pn, — 9° (4, + Pr, + On, + Un, + Pr) = EX.
On voit, par conséquent, que le groupe (x est dérivé uniquement des deux substitutions
S—|i 1+1| (modm), substitution circulaire entre les m racines, et t—|1 —:1| (modm),
substitution qui déplace tous les indices, sauf l'indice zéro.
21. THéorkme. — Toutes les racines de l'équation algébrique H, dont le groupe est constitué comme nous venons de le voir, peuvent s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients et de deux quelconques d’entre
ces racines.
En effet, adjoignons à l'équation deux quelconques des racines, », et n, par exemple; par l’adjonction de ces deux racines le groupe G se réduira à celles de ses substitutions qui ne déplacent ni n, ni n,; mais nous venons de voir que la substitution 1, qui laisse toutes les racines immobiles, est aussi la seule qui laisse immobile plus d'une racine. Ainsi, par l’adjonction de n, et de n,, le groupe G se réduit à la seule substitution 1 : donc les m— 2 racines #,, #1 +.» fm, S EXpriment rationnellement en fonction de »,, de n, et des coefficients de l'équation H.
Corollaire. — L’équation différentielle linéaire Y admettra un système fondamental dont toutes les intégrales seront des fonctions rationnelles de la variable et de deux quelconques d’entre ces intégrales.
En effet, l'équation différentielle linéaire admet un système fondamental exclusivement formé de racines de l'équation algébrique H.
09. Tnéorème. — l'équation algébrique irréductible H, de degré D z , premier m, dont le groupe est constitué de la facon que nous venons de
voir, est résoluble algébriquement.
34 L. AUTONNE.
En effet, considérons les 7»: — 1 fonctions
| U,— [no + don, om dun, Ha. 2e pie GPA
D, — [ne 0T0n, + 0 %%g, RE Are Te, > Qu — 1e ( Z E, LR nee nee oier en
VA [n, —+- pp, + Din, + RE RU 71e AR UE re CR En CN ie RS re
et enfin
TS Lu, + bn, + Pa, +... + FR RAIRe
(@, —— Lu, on me D “y, A CRE NUE Re Per ENCTR TS 15
en posant m—i—=2(l+i1).
Deux de ces »m — 1 fonctions (4, et v, par exemple), toutes distinctes, se confondront avec X et Ÿ et seront, par conséquent, nulles; mais les 2/ autres 4,,U,,..., U, et 0,, 9,, .., v, seront différentes de zéro.
Prenons 4; et v,; la substitution S du groupe G ne les altère pas; la substitution £ les permute; toute fonction symétrique de w, et de y, sera invariable par toutes les substitutions du groupe G et s’exprimera rationnellement en fonction des coefficients de H, c’est-à-dire de la variable x.
. 9 [À L r Donc u, et v, seront racines d’une équation W,— o du second degré, dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de x. Si je forme successivement les / équations auxiliaires du second degré
W — O, WE 0! D dns MP2==5; *
jen tirerai u,,U,, ..., U, 0,,9,, ..., v,; alors le système (1) me fournira
© Or
les tm équations linéaires entre les racines
a ri: 0) a Li Von û in; + ,.. 1e ge” te —— Vu,, — —(n-1)X Lure BI HN, . 0 FN AR nn pa à ne ; œ (n—1)@y ke (1°) fo + in, + a ny = Vu,, FRS û &y Male 1)æy, de Fa 0 ñn, sur > ra ni En Vs û (Mm—1)a nb 4, 1 9 VA NO, no on, 4 + no; ces 7 — 1 équations linéaires, jointes à He Le tee 41e
déterminent sans ambiguïté les m racines, car le déterminant D du système ne peut être nul (n° 9).
25. THéorkme. — L'équation différentielle linéaire Y admet un systeme fondamental, dont une intégrale est une fonction rationnelle À, de la variable x, et les m— 3 autres intégrales sont deux à deux de la forme
ND) me 10) (EN Vu, et Vo,
en désignant par u, et v, les deux racines d'une équation algébrique auxiliaire W,, du second degré et à coefficients rationnels en x.
. TT IL) en Ie ILES .
En effet, les fonctions À, ,Vau,, Vo,, ..., Vu,, Vo, sont évidemment des intégrales de Y; il suffit de démontrer que ce sont des intégrales linéairement indépendantes. Cela est aisé à voir, car on aurait, dans le cas contraire,
Qu== À3 Vu, + À, Ve, Te AU 1e Ana Vu, + TEA Vire An À ?
en désignant par À,, -.., À, des constantes, qui ne sont pas toutes nulles. Remplaçant dans cette équation A,, &,,v,,..., u,, v, par les valeurs qui leur correspondent dans le système (1) (n° 22), j'obtiens une équation linéaire, homogène, à coefficients constants entre les » racines de H. Cette
36 L. AUTONNE.
équation doit pouvoir s'identifier avec
— À, X —AÀ,Ÿ,
en désignant par À, et À, deux constantes qui ne sont pas nulles toutes les
deux. La démonstration s'achève comme au n° 40.
24. Toute la discussion du cas » — 2 peut se résumer dans la proposition suivante : RUAN
Tuéorkme. — Soi YŸ une équation différentielle linéaire d'ordre p à coefficients rationnels en x, qui : 1° possède une intégrale rationnelle À, ; 2° admet un système fondamental exclusivement formé de racines d'une équation algébrique irréductible H, à coefficients rationnels en x, dont le degré est un nombre premier m—= p + 2;
1° /l'existe un système fondamental d'intégrales qui contient, outre l'intégrale rationnelle À,, m— 3 — p — 1 intégrales de la forme Vu, en désignant par u;une fonction rationnelle de la variable ; ou bien
2° Il existe un système fondamental qui contient, outre la fonction rationnelle À,,p — 1 = m —3 intégrales de la forme Vu;, en désignant par U,,U,..., Un 3, M—3 fonctions, qui sont deux à deux racines d’une
même équation du second degré à coefficients rationnels.
25. Il est aisé de vérifier qu'une équation différentielle linéaire, qui possède un système fondamental d’intégrales, défini comme au n° 24, a
tous ses coefficients rationnels.
S1, en effet, le système fondamental est celui du 1° (n° 24), le calcul ne diffère en rien de celui qui termine la première Partie (n° 44).
Si le système fondamental est celui du 2° (n° 24), voici la vérification :
on peut écrire
dPy 4 dP Je d? Via
dx? dx? dx? Dr
