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en posant

2 2 (1) 47 ke == U;, VAS == ps u; et p, étant les deux racines de l'équation

(2) W,= wi + L,w,+M,—o.

Différentiant les équations (1), on a (/ étant un entier quelconque)

d'y; du; EN AL (x, U;, To 1. + )

COTE ENE dy; .

dxt Ai VNEU Ly Vis 4 A " ?

différentiant (2) et remplaçant par leurs valeurs obtenues ainsi les

es ; du; d'u; dv; dv; dérivées successives sh —— y 9 9 7 s ON A LC FR MERTE di dy Vita (3) mn Ce cree UE

où ?, désigne une fonction rationnelle et / un entier quelconque.

Si je porte dans le déterminant les valeurs (3) des dérivées successives, j'obtiens, après la suppression de facteurs tels que y,, communs à tous les éléments d’une colonne, un déterminant, où chaque élément dans une colonne est une fonction rationnelle de w,, et l'élément correspondant de la colonne suivante est la même fonction rationnelle de +». Permutant les deux colonnes considérées, ce qui revient à permuter #, et v,, on change le signe du premier membre de l'équation différentielle Ÿ — 0 : donc tous les coefficients de cette équation sont des fonctions alternées de &; et

de »,, c’est-à-dire des fonctions de la forme B, = (u,—v,)o(u;, v,),

& désignant une fonction symétrique et rationnelle. Mais, en vertu de l’équation (2) et de la symétrie de la fonction , on peut faire disparaître de « A. 6

38 L. AUTÔNNE.

, EUR , les quantités 4, et », pour faire entrer dans « les quantités rationnelles EL; et

M, coefficients de (2) W,= w? + L,;w,+M,= o.

Raisonnant sur w; et v, racines de

W, —— wi + LL 1 re M; — O, N

comme je viens de le faire sur 4, et v,, je ferai disparaître de ©, u; et v,, pour y faire entrer L; et M;. Procédant ainsi de proche en proche, j'exprimerai la fonction « rationnellement à l’aide de L,;, M;, L;, Lr, M;, M»,..., c’est-à-dire rationnellement à l’aide de la variable x. Si enfin

je supprime le facteur

(u;— v,)(uy—v;), ...,

commun à tous les coefficients de l'équation différentielle, ces coefficients se trouveront complètement expurgés d’irrationnelles, et la vérification se

trouvera faite.

Remarque. — Reprenons les 2/ fonctions He Use Pi Pape too,

du système (1) (n° 22); ces fonctions sont invariables par les mêmes substitutions du groupe G : donc elles s'expriment rationnellement à l’aide de l’une quelconque d’entre elles et de fonctions symétriques des racines (JorDan, l'raité des substitutions, p. 5o), c’est-à-dire rationnellement à l’aide de la variable x et de l’une quelconque d’entre ces fonctions w ou ». En nous reportant au théorème de M. Jordan, cité dans l’Introdueton, nous voyons que l'équation auxiliaire X — o de ce théorème est du second degré, tandis que les diverses équations binômes sont toutes du degré mn. |

Application au cas m—5. — Nous allons donner successivement un exemple des deux circonstances différentes qui peuvent se présenter.

Supposons d’abord que l’on ait, par exemple,

EX y, Hi, + bn, + Pin, + dr, —0,

Y =n +n +, + n, +Pn,—o (9 —:1), (1) bu —=n, + On, +0 n, + 0'n, + Fn,,

Do =, + bn, + On, + Pn, +08 n,,

BP — 1, + Ni DES 3 + PE) l'équation H étant

n° — 5Pn' AE ner, "+ An Re A," qu À, Eu

Le système (1) nous fournit aisément pour les valeurs des einq racines Moi lyn lan las Na *

10 40e EP,