TROISIÈME PARTIE

25. L'énumération complète des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à trois variables a été faite par M. Jordan à la page 92 du tome 84 du Journal de Crelle; un groupe primitivement omis (le huitième) a été construit et discuté dans le Mémoire présenté à l’Académie de

Naples (p. 21, 22 et 23). Voici cette énumération : Premier type. — Toutes les substitutions sont de la forme

RNA NX VLC Re

les coefficients y étant des racines de l’unité, et les coefficients «, B, «’, f tels, que les substitutions à deux variables

|XY aX+BY xX+SY|]

forment un groupe I” d’ordre fini. On obtiendra ainsi cinq sortes de groupes différents, suivant le type auquel appartient T”.

Deuxième type. — Le groupe est dérivé de substitutions de la forme D AN ZAR NV aE/ Et

jointes à la substitution

LENS SM RC

(les coefficients a, b, c, a’, b', c’ sont des racines de l'unité).

Troisième type. — Il s'obtient en adjoignant au groupe précédent une

substitution de la forme

DST AA TILX c'7

(où a”, b”, c” sont des racines de l’unité).

Quatrième type. — Le groupe est dérivé de la combinaison des substi-

tutions AN LL AXE AVES 70), D RAT NT Ve 2 de 1212, 0 "7/0 RER | X aX+(i1—a)Y +oa(1i—a)Z | C=)Y (1—-a)X+aY—2a(1 —a)Z |, Z X—Y+(1—2a)Z où F—=I, 1+a(r+r'—2)—o Nota. — Les formes ci-dessus de la substitution C et de l'équation qui définit & sont

différentes de celles qui se trouvent à la page 92 du tome 84 du Journal de Crelle. Cela tient à une faute d'impression, qui a défiguré le texte. La forme de C et l'équation qui définit & m'ont été communiquées par M. Jordan lui-même.

Cinquième type. — Le groupe est dérivé de la combinaison des substi-

tutions re XNA X ANAL}, DANNY Z EUX DNRAUEZIA BOX YZ ON Z ae ALES) SO Pied D à Le me à He NAT ICONE PE) Y ra(X+8Y+ Z)|, Z r'a(X+®Y+07) où l’on a

3 TU ET ED Pre ET CS RAGE ELA nr PET YL

= 1,7" — }" (p quelconque, mais entier), w — 0,1, 2.

A4 , L. AUFONNE.

Sixième type. -- Le groupe est dérivé des substitutions à, À, B, sDE, où s— 1, À, À° ou à!, le reste défini comme au type précédent. Septième type. — Le groupe est dérivé des substitutions à, À, B, sDE,

tED, où t° — s° ou Às°, le reste défini comme au type précédent.

Huitième type. — Le groupe est dérivé de la combinaison des substi-

tutions

— AVS ONR "72; A | XYZ EX ANNEE | BÉSRR A NIANE, ASC E

IX aX+cY +02 cal y eX + bY + aZ |, Z bX +aY + cZ

où r'=—1,et a, b, c sont définis par le système linéaire

DIE D EE CE aT + br + cr — 0,

ar + br + cr? — 0.

26. Convenons d’abord des notations suivantes : soient X — 0, Y — o, Z = o les trois équations linéaires, homogènes, à coefficients constants,

qui existent entre les m racines de H; je désigne par

N, le système des », racines communes à X, Y et 7;

7e Ne D ia # X, \ ; De n,; » X, ZE N.. » LR » Nauz

De même, je désigne par

N, le système des x, racines qui figurent dans X seul,

N, » n, 5 ; D HE N » n

s ; » » Z seul;

(exe

on aura (6, corollaire I),

LUS UE n Sent le + TE=NTTL

Cela posé, Je vais établir trois lemmes, qui me permettront d'éliminer immédiatement tous les types de M. Jordan, excepté le premier, le second, le quatrième.

Lemme 1. — Si le groupe l contient une substitution S de la forme

D NN PO XMRO NT NEZ IE où

ieme

a est une racine primitive & de l'unité ;

ieme

ième

le plus grand commun diviseur à de x, & et y doit diviser #2, c’est-à-dire RO MN:

En effet, chacun des systèmes N,,N,,,N,,,N,,,N,,N,,N, contient un nombre entier de cycles de S et cette substitution permute entre elles des racines d'un même système.

Car, supposons qu'il n’en soit point ainsi, et que $ fasse entrer une racine », de N,, dans le système N, par exemple. Soient X”, Y’, Z’ ce que deviennent X, Y, Z par l'effet de la substitution $S, », figurerait dans X’,

Y”, Z/; mais on a identiquement ZL'= cZ,

et », figurerait dans le premier membre de cette identité, sans figurer dans le second, ce qui est absurde. On démontrera par un raisonnement tout pareil que chacun des sept systèmes N,,N,,, N,,, NSENTEN AN RCONR tient un nombre entier de cycles des.

Cela posé, en vertu du théorème IT du n° 7,

AIN A 72ins lis lt) B » PPS SU te LD OR PRICES A. 7

46 L. AUTONNE.

et leur plus grand commun diviseur à divise

Rio Us ls En, ll et,

c'est-à-dire ». Donc à — 1 ou à — 1m» ; dans ce dernier cas, on a évidemment

No ==; = == =O, NN, — M.

S est une substitution circulaire entre les 72 racines.

Corollaire. — Si le groupe T contient une substitution S de la forme

S XYZ RAS ANS 72 ON A A1 - En effet, si AZ 1, À" — 1 en vertu du lemme précédent et la substitution S est une substitution circulaire entre les 72 racines. Mais, dans ce cas, on

a (7, théorème [”, Remarque),

TPS UNE en Y=n, + tn, +... + M Lun, +X nn, +... + Mn,

et les trois équations X — 0, Ÿ — 0, Z = o ne sont plus distinctes, ce qui est absurde.

Donc À = 1. CG 7Q-aF D:

Lemme 11. — Si le groupe T contient une substitution T de la forme =) NN AN LT cb |; on à Ho =; —=R,; =, nn, = Ii, y —=V.

Considérons d’abord le système N, par exemple; je dis que T déplace toutes les x, racines de N,; supposons, en effet, que T laisse immobile une : : Ed V2 :

racine #, de N;; soit X’, Y”, Z’ ce que deviennent X, Y et Z par l'effet de la substitution T; », figurerait encore dans X’, mais on a identi-