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et - | 2h PEL LEUR EE UNE non :
on voit que dans X, dans Ÿ et dans Z les coefficients des racines sont tous inégaux.
Cela posé, reprenons la substitution T'=) XYZ a'Y ZX VAE
suivant une remarque déjà faite dans la démonstration du lemme IL, TV”, qui multiplie Z par 1, ne déplace que les racines affectées dans Z de coefficients égaux ; mais nous venons de voir que les coefficients des racines dans Z sont tous inégaux ; donc T” se réduit à la substitution 1 et laisse toutes les racines immobiles, ce qui est absurde.
S1 maintenant je suppose y —0, «—1, la substitution S est encore cir-
culaire et il me viendra pour Z À L=n,—+ n, SERRE Sale
ce qui est absurde, puisque la somme des racines de l'équation algébrique H n’est pas nulle.
Il faut donc supposer simultanément & = $ — y — 0 et a — b —c—1.
Mais, dans ce dernier cas, reprenons la fonction
ÙU = X ee a Y —+- A DZ
n LA
FT, TetS multiplient U par 1 : donc (26, lemme 111)
Ü RU Si à Ur D 00 + CP on 2
ce qui est impossible.
En admettant done dans le groupe l l'existence simultanée des substitutions T et T’, on arrive dans tous les cas à des absurdités : par suite, T et T’sont incompatibles. Si je supprime T du groupe T,, je retombe sur le premier type de M. Jordan; supprimant, au contraire, 1”, je ramène l' au second type.
Le théorème est donc démontré.
28. THéonème. — Le groupe TV (cinquieme type), dérivé des substitutions
AREA ANAX AY AZ |, OV CT) ET A) D XT ZE UT 1 Ne ADO RO ARE NES ERA RE FAR IX ra(X + Y +07)
MN r aix OX 2), L r'a(X+8Y +62) où l’on a no 0 a — |
n— 1,7 — 3) (6 entier quelconque, u = 0, 1, 2), ne peut fournir aucun type d'équation algébrique trréductible de degré premier m.
En premier lieu, on à (26, lemme T, corollaire) À—=1,- d'où p—0, 7 —=I.
En second lieu, la substitution r D est impossible; en effet, si T con-
56 JL. AUTONNE.
tient la substitution DEN TR RE T contiendra également la substitution AD XYZ TT EEE TE 71 c’est-à-dire, puisque r°=—1, j—#0, 8 —1, (TD) = XYZ URI N ET 7
Or cela est contraire au corollaire du lemme I du n° 26 : donc la substitution r D est impossible.
Le groupe T se réduit, par conséquent, aux substitutions À, B et r°E;
mais Je vais démontrer que les substitutions À et B sont incompatibles. Si B existe dans le groupe F, on a (26, lemme IT)
=, —=nN,—=, jo =; = oz =), TEE Su + S1—mMm;
mais si À existe, comme # est une racine cubique de l’unité, 3 divise n,, ñ,,, C'est-à-dire » et »,, c’est-à-dire w (26, lemme I) : donc 3 divise n+3u+3v ou Mn,
ce qui est absurde.
Je ne puis donc, pour former le groupe T, combiner r°E qu’à la substitution À seule, ou à la substitution B seule. Cela posé, je vais démontrer le
lemme suivant :
Lemme. — On a entre les substitutions A, B, E les relations AP EB PER A EEE Cela est aisé à vérifier, car
X a(X+ 8Y +7) AE )VY a(X +6Y +067), Z a(X+ Y +07)
