ADE == DEB, BDE —49DEA
En effet, X a(X+ Ÿ +2) ADE=)Y a(X—+ 4Y + 82) |, Z aj(X+FY-+02)
et X a(X+ Y +2) DEB=|Y aj(X + 8Y +62) |.
Z a{(X+FPY +087) Pareillement X aj(0X +—Y +897) BDE= Y q(X +Y+2Z) |, Z aj(FX + Y +07) (A
X ajO(X +8 Y +87) ODEA* =) Y a(X+ Y +7) L KEY ER 2)
Par conséquent : 1° si nous combinons sDE avec A, le groupe l contiendra la substitution GCDEMASDE)=— BR,
ce qui est impossible, puisque À et B sont incompatibles ; 2° si nous com binons sDE avec B, le groupe L'contiendra la substitution (sDE) 'B(sDE) — 4A?, ce qui est encore impossible.
En résume, le groupe T se réduit à l’une des trois substitutions AMCb'= "DR et le raisonnement s'achève comme dans le cas précédent. 90. THÉorÈuE. — Le groupe (septièmetype), dérivé des substitutions AN SD CDN ED 9 9 / ° ar 14 (out — s°" ou ns°, le reste défini comme au type précédent), ne peut fournir aucun type d'équations algébriques irréductibles Hde degré premier m.
On verra, comme dans le cas précédent, que A— 1; d’oùut'— s' — 1. Je dis ensuite que la substitution {ED est impossible. Si cela est, le groupe T se ramène au type qui vient d’être traité.
Pour démontrer que la substitution {ED ne peut exister dans T, je considère cette substitution
X aj(X + Ÿ +062) DER Gr X Y + ŒZ)}; L aj(X+®Y +87)
l'équation caractéristique en K (4) relative à ED est, en posant NUL Ke 1 — K° i CET à
6o [L. AUTONNE.
c’est-à-dire (K/—+ 0 1)(K°? —38) =0:
Les trois valeurs de K, savoir K,, K,, K,, satisfont done aux relations
Rae Ricoh RE Bi
Élevant au cube, :l vient
RÉCIT EAST ET Due RL as 27 0? 2702 Rs 7 = RAR 24° AE Û g(i—202+6) 27.02 2 Fi
et pareillement
Donc OT A CT aucun des exposants & et 8 n'étant nul. On voit que K, est une racine cubique, K, et K, des racines sixièmes de l'unité. Cela posé, considérons la forme canonique de la substitution tED, LED RAR RE Er RON RE 7 RE La substitution (6ED)' — (ED)', puisque t‘ = 1, et sera de la forme CEDIÉE= NN ZTMIS NOIRE RME ZE or, d’après ce que nous venons de dire, K°, K; et K; sont des racines
cubiques de l'unité : donc (26, lemme 1) 3 diviserait »#, ce qui est absurde.
Le groupe T est ainsi ramené au cas traité précédemment (29), et le raisonnement s'achève comme plus haut.
51. Taéorkme. — Le groupeT (huitième type), dérivé des substitutions NAN ZE RNA EE T7 RE A NN 0e NN TZ BEN PETZ X A:
X aX+cY+uZ
CEE ND NE 70
Lib NN RC,
RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. Gt ne peut fournir aucun type d'équations algébriques irréductibles H de
degré premier m.
On a d’ailleurs r' = 1; les coefficients a, b et c sont définis par le système linéaire
DNS Ci Tr.
QT + br -cTr'—0o, Ar tb Tr cr —=0.
La substitution À est impossible (26, lemme 1), puisque 7 ne divise pas 7». (J’examinerai tout à l'heure le cas » — 7.) T' se réduit, par conséquent, aux deux substitutions B et C. Or considérons la fonction U
B multiplie U par 1 et C multiplie U par — 1.
Puisque toutes les substitutions du groupe T multiplient U par des constantes, on retombe sur un cas précédemment traité (26, lemme IIT). Les constantes par lesquelles les substitutions de T multiplient U ne peuvent être égales qu’à l’unité ou à des racines »#°"% de l'unité. Mais C multiplie U par la constante — 1 : donc la substitution C est impossible, puisque — 1 est une racine carrée de l’unité.
Le groupe T se réduit, par suite à la seule substitution B; si l’on ramène B à sa forme canonique, on retombe sur le premier des huit types énumérés par M. Jordan, ce qui est contre l'hypothèse.
Le théorème se trouve donc démontré.
32. Pour achever la discussion du huitième type de M. Jordan, il nous faut supposer 1 — 7, et dans ce cas la substitution A est possible.
Je dis que les substitutions A, Bet C existent nécessairement toutes les trois dans le groupe T. En effet, je ne puis supprimer À sans rentrer dans le cas que je viens de traiter; je ne puis supprimer C sans rentrer dans le second des huit types de M. Jordan. [Il me suffira de démontrer qu’il est impossible de supprimer B du grouper.
On sait (Mémoires couronnés par l’Académie de Naples, t. LX, p. 23) À, d
62 L. AUTQNNE. :
que l'on a
