IT

53. Nous allons maintenant passer à la discussion du quatrième type de l'énumération de M. Jordan. Le groupe TL résulte de la combinaison des

substitutions

MEN AREAS AY AZ |, AV ZT re AZ |, DV NS Xe 7 et X aX+{(i—a)Y+oali— a)Z DIR NEA NP ET Z X—YŸ +{(1—2a)Z

FI, 1Ha(r+T' —92)—0o.

Un pareil groupe a résisté à toutes mes tentatives; il est, en effet, aisé de voir qu'aucune de ses substitutions ne tombe sous le coup de l’un des trois lemmes du n° 26. Je me bornerai à démontrer la proposition sui-

vante :

Tuéorème. — Le groupe T dérivé des substitutions À, B,G (a =— forcément, en vertu du corollaire du lemme T du n° 26) ne peut fournir aucun type d'équation algébrique irréductible H, dont le degré m sou un

. Ê FC \ nombre premier niférieur & 20. ;

64 j. AUTÔNNE.

La démonstration de ce théorème repose sur deux lemmes que je vais

successivement démontrer.

Lemme I. — Ona

nñ = os = = No — O

et, par suite,

ol += M:

Pour démontrer ce lemme, je remarque queles substitutions À et B peuvent

se mettre sous une forme symbolique (26, lemme IT), qui est

et B= (N,)(N,) EN) (NN) (Ni No).

Cela posé, il est aisé de voir que C multiplie par 1 la fonction = RENE

C permute donc les racines qui figurent dans U entre elles, et les racines qui ne figurent pas dans U entre elles. Or les », racines du système N, ne figurent pas dans U, tandis que les », racines de N,, les 7, racines de N,, les 7,, racines de N,,, les n,, racines de N,, figurent dans U: en effet, ces diverses racines ont un coefficient nul dans l’une des deux fonctions X et Ÿ et ne peuvent disparaître dans la somme X + Y — U,

Ce que nous venons de dire de la substitution C, joint à ce que nous savons déjà des substitutions À et B, nous permet de voir qu'aucune subsutution du groupe C ne peut faire prendre à une racine », de N, la place de l’une quelconque des racines de N,, ou N,, ou N,,, ou N,.. Mais le groupe G est transitif : donc l’un des deux systèmes

(1) ee (2) N,+N+N,+N,.

n'existe pas. Îl est absurde de supposer que le système (1) est absent, car

alors », serait nul. Or, puisque la substitution A existe, en vertu du

RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. 65 lemme I du n° 26, 5 divise », n

mais, Si 2,=— O, DIU SET EN, en, IN,

et 5 diviserait mn.

C'est donc le système (2) qui manque : donc

y 0 C0 NT. 0D: