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Remarque. — Pour qu'une racine #, de N, puisse entrer dans le système N,, il faut évidemment qu’il y ait au moins une racine de N, qui disparaisse dans la somme UÜ = X + Y. Comme le groupe C est transitif, il existera dans N, au moins une racine affectée, dans X et dans Ÿ, de coefficients égaux et de signe contraire.

Ce qui vient d’être dit du système N, s'applique évidemment de même

au système N,..

Lemme IT. — On a toujours l'inégalité 6n, < m.

En effet, puisque la substitution À existe, en vertu de la remarque du

théorème I du n° 7, X et Y sont de la forme

X— an +T un, +T nn +T nn, + "n,) + a fn, He tn + HT ns) + + CAC Re NE PE EE

Aa pe, en + ne RO he

et de même, changeant ren r "et «en f,

nn terne) 35 Êa PE DE Ts —1)+ 1 ie ut :

où Dk—n+n,—=mMm—n,.

En vertu de la remarque du lemme précédent, on doit avoir, en faisant la somme U — X — Ÿ, des réductions entre les coefficients. Je dis qu'il

66 L. AUTONNE.

ne saurait y avoir plus d’une réduction par groupe de cinq lettres, tel que

Nssra MC ES EL nn)

CA CPE mi

et Bins: + Ts i+s eue T. Mir)

Supposons, en effet, qu'il y ait deux réductions, c'est-à-dire à la fois deux équations DR AT 0 (EL

me B;T — 0.

Il faut donc qu’on ait «lors

c’est-à-dire

cette dernière égalité est absurde, quel que soit le signe que l’on adopte. Donc il ne peut y avoir plus d’une réduction par cinq racines, c’est-à-dire plus de Æ réductions en tout entre les 5k = n,+ n,, —m — n, racines de N,etdeN,..

Cela posé, je suppose qu'on ait », > À (on ne peut supposer », —k, car alors 5n,—m—n,, 6n,—m, ce qui est absurde), c’est-à-dire n,—=k + p.

La substitution C ne pourra faire entrer, par conséquent, dans les SyStèmes N,et N,,, que k au plus des n,— k# + ph racines du système N.. Considérons maintenant la transformée X” de X par C, on a identiquement

X'=aX+{i—a)Y +aa(i —a)Z.

Dans le second membre de cette identité figurent les 7, — k + p racines

de N, ; dans le premier membre il ne figure au plus que # des », racines

de N,. L'identité est donc impossible tant que p=> 0; on a, par conséquent, forcément l'inégalité Ts SC RR:

et, comme # — ee »

On, <C'IR CAO AD:

Nous allons discuter degré par dégré la possibilité de l'existence de l'équation algébrique H. Je remarque tout d’abord qu'aucune des trois substitutions À, B et C ne peut manquer dans le groupe, puisque chacune d’entre elles peut dériver de la combinaison des deux autres (voir le Mémoire de M. Jordan).

Ainsi donc, puisque B figure forcément dans le groupe, les coefficients des racines sont les mêmes à l’ordre près dans X et dans Y. En second lieu,

puisque À multiplie X par r et Y par + '(r° — 1), et puisque B multiplie Z

par — 1, racine carrée de l’unité, on a (26, lemme Î) :

les nombres n, et #,, divisibles par 5,

» TS CA » De

Donc », est un multiple de 10, nr, un nombre pair, »,, un maltiple impair de 5.

Cela posé, je vais discuter une à une les diverses hypothèses m — 5, 7, PRO T7, 19:

1° m—5. Dans ce cas n, — 2 au moins, mais alors n, —n,, — 0. Le

groupe est donc impossible.

7,0 ausmoms. N,—0, 7,50. Mais6.2"7doncié groupe est impossible.

3 m—11. n,—2 au moins, et comme 6.2 > 11, le groupe est encore impossible.

4° m—13. La seule hypothèse possible pour 2, est n, —2, car si n, >=, 6n, >.m. Or, 13 —2—11, qui n’est pas un multiple de 5. Donc, le groupe T ne peut exister.

5° m—17. La seule hypothèse possible pour n, est 7, — 2. Je ne puis d’ailleurs supposer nr, — 0, car alors l'équation Z — o serait de la

68 L. AUTONNE.

forme ah +an = O, c’est-à-dire == On,

en désignant par Ÿ une constante, ce qui est contre l'hypothèse. Il faut donc supposer que 7, — 10 et n,, — 5. Considérons maintenant les cinq

racines #4, M3 os 31, de N,,; X et Ÿ sont de la forme

X=n,+r nr on HT Un, +7 Un, +...

et

Y Bin timer on, Erin, Erin, ) RUN

Il faut, pour que la substitution B existe, que les coefficients de ces cinq

lettres de N,, soient les mêmes à l’ordre près dans X et dans Y; donc 12 )

Br. Mais, avec cette hypothèse, aucune réduction entre les coefficients

des cinq racines n’est possible dans la somme U = X + Y, car on au-

rait TH — Oo,

ce qui est absurde. Le groupe l'est donc impossible quand le degré Mm—= 17.

6° m— 19. Comme », — 4, au moins, et qu’alors 6n, > m, le grouper est impossible.

On voit, par conséquent, que si le degré de l’équation irrédactible H

est l’un des nombres premiers inférieurs à 20, DNA TON AL

le groupe T dérivé des substitutions À, B, C ne saurait exister. Le théorème est donc démontré.

On voit que la discussion précédente ne laisse subsister, parmi les huit types de M. Jordan, que le premier et le second. Chacun de ces types fournit une classe spéciale d'équations H.