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54. THéorkme. — Si le groupe TV appartient au premier type de \ . . ’ e , .

M. Jordan, c’est-a-dire s'il est formé exclusivement de substitutions de la forme S—| XYZ caX+BY aX+6Y yZ|,

le groupe G est formé exclusivement par les puissances d’une seule sub-

stitution circulaire entre les m racines.

En effet, puisque toutes les substitutions de T multiplient Z par des constantes, on retombe sur le lemme III (26), et le théorème est démontré.

Corollaire 1. — 1'équation H est abélienne et résoluble algébriquement (9, théorèmes I et IT).

Corollaire 11. — L’équation différentielle linéaire Y admet un système fondamental d’intégrales formé de la fonction rationnelle À, de x et de m — 4 fonctions de la forme Ÿ4,, où w, désigne une fonction rationnelle de + (10 et 11).

55. Je vais actuellement rechercher la nature du groupe G de l’équation H, lorsque T appartient au second type de M. Jordan, c'est-à-dire lorsque T résulte de la combinaison des substitutions

S—|XYZ aX 6Y cZ|

et Lea but Zi eo X Lemme. — X, YŸ et Z contiennent chacune toutes les m#racines.

En effet (26, lemmes I et I), les substitutions S et T peuvent se mettre

sous la forme symbolique

S — CN EN N EN SON NE UNS) t | DAC NN NS NAN SNL:

TO L, AUTONNE:

On voit que, si l’on considère les trois groupes de systèmes de racines

(1) Ne (2) Ne se N%, (3) N'RRON SON

aucune substitution de G ne peut faire passer une racine quelconque », de (1), par exemple, ni dans (2), ni dans (3). Donc deux de ces groupes de systèmes manquent, puisque le groupe G est transitif.

Mais on a (26, lemme I)

SEE Loti UN:

Done, si l’on suppose que N, manque, ce qui revient à faire 7, = 0, il viendrait (Ur) = 7h, résultat absurde. Donc

bi 0 ROSE TT: Eos ED:

Lemme 11. — Le faisceau des substitutions si NÉ CON DT CT |

est formé par les puissances d'une seule substitution circulaire entre les m racines.

En.effet, puisque X, Ÿ et Z contiennent chacune toutes les »2 racines, les coefficients a, b, c sont égaux à l’unité, ou sont des racines m°"® de l'unité. |

Supposons d’abord a = b = c — 1, alorsle groupe T se réduit à la seule substitution T; soit X,, Y,, Z, la forme canonique de la substitution T,, toutes les substitutions de G multiplieraient X,, Y,,Z, par des constantes et

on retomberait sur le cas traité plus haut (34), ce qui est contre l’hypo-

thèse.

RECHERCHES SUR LES INTÉGRALES ALGÉBRIQUES. ol

Supposons l’un des coefficients, & par exemple, différent de l'unité, alors a —#9 *(8"— 1), la substitution $ est circulaire entre les 2 racines, et le lemme est démontré (8). D'ailleurs b et c ne peuvent être égaux à

? L la . .

l'unité, car, si b — 1, par exemple, on aurait

Y = 9 '(n, a ï, et ",»- + résultat inadmissible; par conséquent,

D 0 en T)

et ue % (m—1)0 X =", + On, +. e6 1e Fe ET () (n—1 Mn Up cent gun FA EE Y (R—A)Y =, + En, +... +08 LES Remarque. — On voit qu'il n'existe pas de coefficients égaux ni dans X,

ni dans Ÿ, ni dans Z.

Ces préliminaires vont nous permettre d'aborder l'étude de la substitution T.

56. Lemme 1. — La substitution T° ne déplace aucune des mn racines.

En effet, puisque

MO Er LT A ON on a