MÉTHODE DE FRACTIONNEMENT EN CANAUX DE PROFONDEUR CONSTANTE
La méthode que nous allons employer pour étudier les marées dans un canal de largeur et de profondeur variables, fermé à l’une de ses extrémités Ee consiste à assimiler ce canal à une suite de canaux 1, 2, 3, 4, ..., dont la profondeur est constante pour
Fis.-#4.
chacun d'eux, mais varie d’un canal à l’autre, et dont la largeur est, ou constante, où fonction exponentielle Se de X, X étant la distance comptée à partir de E sur l’axe EX du canal.
On pourra toujours faire la subdivision de telle façon que dans
; : Are WP chacun des canaux partiels le potentiel générateur —= d’une onde o
déterminée ait la forme A;+ B:X + C;X>?, où A;, B', C; sont des fonctions harmoniques du temps (cf. Poincaré, Théories des MHarces, S 132). Dans ce qui suit nous supposons, pour simplifier,
2 L A ! Ni qu'elles gardent les mêmes valeurs A, B', C tout le long du canal.
9. Canal de largeur constante. — Si dans l'équation différentelle rappelée au Chapitre précédent,
d do LR ; k s (un) IX CR)=20e W) où A
on suppose constantes les quantités / et h, il vient en divisant les deux membres par /
d © ll (A0 — W) dx? gh 5 22 ' :
Posons p?—— = et remplaçons dans cette équation 9
gl
gt W
Dee On obtient
DR AT IEN ax? er ()=0
d’où nous tirons l’expression bien connue de la marée
, D 5 2C (En) 6 = U;cosuX + V;sinuX — —.
LS Calcul des constantes d'intégration. — Les constantes d’inté-
gration U; et V; se déterminent par les conditions aux limites.
Dans le canal 1, dont l’extrêémité E est fermée, on détermine U, et V, en écrivant d’une part, que pour X — 0, £ a une valeur &;, d’où
(8922) UNE no —
do . : " e et, d’autre part, que 7x St nul sur la paroi terminale E, d’où Œ:
: B' (23) Vi=— —, (ru U, et V, sont donc, comme €, B', C, des fonctions harmoniques du temps. ; Pour passer du calcul des constantes du premier canal au calcul
des constantes du second canal, ou, plus généralement, pour passer du calcul des constantes du canal £ au calcul des constantes du canal & + 1, supposé de même largeur que le canal , nous écrivons, qu’au point de jonction d’abscisse +, des canaux £eti +1, la fonction & a la même valeur, ou &,, = G;, ce qui fournit une première relation entre Ü;,, et V;,, (1).
Nous aurons la seconde relation en exprimant que la quantité de liquide qui arrive à la section d’absecisse X, par le canal r est égale à celle qui s'écoule par le canal 5 + 1.
; NE à : da Or l'expression du liquide affluant à la section commune est x - Comme la largeur / est la même pour les deux canaux, on a 5 ] ; 5; = h;l el opens z do : ; a C W.
Evaluons ne De la relation (21), et de la relation o — = ou 0 dx KE on tire aisément RE X)+ S(B'+2CX) D SIN UN UNE OU NT BED CN) dx }2 : : S ù À2 à
De sorte que l’équation de continuité s'écrit, en divisant les
oo le]
deux membres par
’ do; En do; Ge = M4
da dx
ou, en développant,
(24) A—milisinp;X,+ p;V;cosu;X, + B'+2CX,)
2 {= Hi Ua sin Hi+i Xn+ Hiti Vin cos Hit Xn + B'+2 CAT:
La relation &;,, = t;, développée, donne re ; ; : à 20 (25) UicospiX, + Visinu;Xy— —— PE ; ; ; - 2 C :
= U;,,cosuiX,+ Viisinu;nX, — RL ce
