LE

planimètre ep précédemment calculée et à l’erreur introduite par le fonctionnement de l'indicateur lui-

même, ou er. ?

On a relevé dans les mesures les valeurs suivantes pour le calcul de e’

INDICATEUR SÉRIES p kg./cm? Pi — P: E’0)o e"0)o mel

MAtha ke RER 2 5,03 . 0,08 1,59 0,31 0,35 3 5,00 0,08 1,60 0,31 1 4,44 0,13 VA07 0,56

Crosby New... 2 4,49 0,14 3,13 0,61 0,51 3 4,49 0,08 1,80 0,35

2e Méthode. — On calcule l'écart de chaque lecture à la valeur moyenne de sa série et l’on

calcule en partant de là l'erreur moyenne relative &. On en tire l’erreur probable e’ par la relation (1)

e’ — 0,8453 ve n ch .

en appelant n le nombre des observations d’une même série, ce qui donne ici e’ — 0,88 &’. Les valeurs suivantes sont fournies par cette méthode :

NUMÉROS MOYENNE INDICATEUR DES € % €” °/ ; Les de e’ 0) SÉRIES | 1 0,578 0,51 h Maihak..:.... 2 0,317 0,28 0,39 3 0,428 0,38 1 0,803 0,71 Crosby New... 2 0,635 0,56 0,57.

3 0,512 0,45 3e Méthode. — On fait les différences successives D, — Pos Pa — Pas ...... Pn—i —Pn, Pn—p,

des valeurs de la pression moyenne p de chaque diagramme dans l’ordre où ils ont été relévés, et pour tous les n diagrammes d’une même série, et l’on calcule la moyenne d’ de ces différences.

Le quotient à = — de cette moyenne par la pression p de la série considérée est lié à l'erreur probable relative par la relation e’ — 0,5978 à’ soit sensiblement e’ = 0,6 à’ puisqu'il nous suffit de deux chiffres significatifs exacts.

On obtient ainsi les valeurs suivantes :

NUMÉROS MOYENNE INDICATEUR DES d' CU e” o/° ; SÉRIES de.€° %/o 1 0,0425 0,87 0,52 Maibhak.…..... 0,045 0,89 0,53 0,44 3 0,023 0,46 0,28 1 0,035 0,79 … 0,47 Crosby New. 2 0,025 0,56 0,34 0,37 3 0,023 0,51 0,31

() Commandant Gozor, Journal des Sciences militaires, 1904, — Voir aussi J: BERTRAND, Calcul des probabilités.

3 » < k , Zee + . L entre l'erreur probable e sur une mesure de l'aire définie ci-dessus et l'erreur probable ep sur la valeur S fournie par l’ensemble des cinq mesures faites au planimètre. On a donc, en définitive,

ép == 0,33 0.

Cette précision, comme on le verra par la suite, est largement suffisante, elle montre quil est inutile de faire plus de cinq lectures au planimètre, et que dans bien des cas un nombre plus faible pourrait suffire. 4

IL est assez curieux de chercher quelle déformation devrait subir le diagramme tout le long de son contour pour engendrer semblable erreur.

Considérons pour cela un diagramme correspondant à la moyenne de ceux qui ont été obtenus dans les essais; ses dimensions seraient les suivantes :

Surface S = 550 mm?°, longueur { — 76 mm., hauteur maxima à l'explosion h — 40 mm., développement total du contour en suivant les quatre phases du cycle L = 350 mm. :

L'erreur probable de 0,33 ,, sur la surface S, correspond à une aire à S = 1 mm? 82, le déplacement à æ normal au contour du diagramme qu’il faudrait faire subir à ce contour pour engendrer la CN 1,82 D AR ne soit seulement un peu plus de cinq microns. '

variation d’aire à S est à x — = () mm. 0052

Il faut bien se garder de conclure que la trajectoire moyenne suivie par le planimètre ne s’écarte de la ligne réelle du diagramme que de celle infime distance inappréciable à l’œil et irréali- ‘sable à la main : les écarts réels sont incomparablement plus grands, mais l’habitude permet de corriger immédiatement un petit écart d’un sens par un autre de sens opposé et de grandeur estimée analogue, et l’on juge seulement par le résultat ci-dessus de la valeur d’ensemble de ces corrections.

C’est elle qui définit l’habileté de l’opérateur dans la manœuvre du planimètre: nous n'avons, d’ailleurs, obtenus les résultats ci-dessus que grâce à une grande habitude, une bonne vue et des précautions sur le détail desquels il est inutile d’insister. En augmentant le temps, le soin et l’habileté mis en œuvre, il est d’ailleurs possible d'arriver à une précision encore supérieure.

Cette considération de la déformation normale du contour d’un diagramme fournit, d’ailleurs, l'explication de l’une des raisons de la difficulté plus grande que l’on éprouve à faire des mesures de pression indiquée sur les diagrammes de moteurs à quatre temps, comparés à ceux des machines à vapeur,

En effet, l’habilelté de l'opérateur et la précision du planimètre, c’est-à-dire l'erreur ep, pouvant être regardées comme une des données du problème, il est facile de voir qu'un diagramme de moteur à quaire temps entraînera, dans la mesure de sa surface, une erreur relative sensiblement double de celle que subira un diagramme de machine à vapeur,où la longueur l du diagramme n’est parcourue que deux fois au lieu de quatre .

Il en est de même pour les erreurs de l'indicateur, lesquelles se traduisent par un déplacement en hauteur des tracés des phases du cycle.

On peut donc affirmer que, toutes choses égales d’ailleurs, un diagramme de moteur à quatre temps comportera des erreurs doubles de celles que subirait un diagramme de machine à vapeur de dimensions équivalentes : de plus, loin d’être égales, comme on vient de le supposer, toutes les autres conditions d'enregistrement tendent à avantager de nouveau la machine à vapeur, ce rapport de 2 entre les erreurs probables commises sur les deux types de cycles doit donc être regardé comme un minimum.

$ C. — Erreurs dues au forctionnemernrt de l'indicateur proprement dit.

Pour déterminer cette erreur, on a relevé sur deux indicateurs différents, le Maihak no 2 employé dans les essais et un Crosby type New à ressort extérieur, trois séries de douze diagrammes par appareil avec un seul piston et un seul ressort par appareil pour l’ensemble de l'essai, soit, en tout, soixante-douze diagrammes. La pression moyenne a varié entre 4 kg./cm? 5 et 5 kg/cm°? dans les différentes séries. L'erreur probable d’une mesure a été déterminée de trois façons différentes :

dre Méthode. — On considère l'écart entre la plus forte valeur et la plus faible des pressions dans une même série, ou écart total, l'écart total relatif est E°— pi et l'erreur probable relative

est d’après les tables de probabilité e” — =. cette erreur est due à la fois à l’erreur sur la mesure au Ê , j

DE LINE ARE TN UE à

planimètre ep précédemment calculée et à l’erreur introduite par le fonctionnement de l'indicateur luimême, ou er. : d

On a relevé dans les mesures les valeurs suivantes pour le calcul de e’

rl ET ie CR LA INDICATEUR SÉRIES p kg./cm° Pi — Ps E"0) re" 01G ie 1 4,90 0,11 2,25 0,44 Maiiak it. 2 5,03 0,08 1,59 0,31 0,35 3 5,00 0,08 1,60. 0,31 1 4,44 0,13 2,87 0,56 Crosby New..... 2 4,49 0,14 3,13 0,61 0,51 3 4,49 0,08 1,80 0,35 2e Méthode. — On calcule l'écart de chaque lecture à la valeur moyenne de sa série et l’on :

calcule en partant de là l’erreur moyenne relative £&. On en tire l’erreur probable e’ par la relation (1) à}

e’ — 0,8453 V= Let n == 1

en appelant n le nombre des observations d’une même série, ce qui donne ici e’ — 0,88 €’. Les valeurs suivantes sont fournies par cetté méthode :

NUMÉROS MOYENNE INDICATEUR DES % €" %/o À de e’ 0/0 SÉRIES 1 0,578 0,51 :

Mathake ie 2 0,317 0,28 0,39 3 0,428 0,38 1 0,803 0,71 Crosby New... 2 0,635 0,56 0,57 É 0,512 0,45 3e Méthode. — On fait les différences successives D, — Des Pa — Py ...... Pr; — Pn, Pn— PP;

des valeurs de la pression moyenne p de chaque diagramme dans l’ordre où ils ont été relévés, et pour tous les » diagrammes d’une même série, et l’on calcule la moyenne d’ de ces différences.

Le quotient à — de cette moyenne par la pression p de la série considérée est lié à l’erreur probable relative par la relation e’ — 0,5978 à’ soit sensiblement e’ = 0,6 à’ puisqu'il nous suffit de deux chiffres significatifs exacts.

On obtient ainsi les valeurs suivantes :

NUMÉROS MOYENNE INDICATEUR DES d à % e’ of° :

SÉRIES de €” °0 1 0,0425 0,87 0,52 Maïhak 20 0,045 0,89 0,53 0,44 à) 0,023 0,46 0,28 0,035 0,79 0,47 Crosby New... 2 0,025 0,56 0,34 0,37 3 0,023 0,51 0,31

(1) Commandant Gozor, Journal des Sciences militaires, 1904. — Voir aussi J. BERTRAND, Calcul des probabilités,

Les trois méthodes donnent, on le voit, des résultats un peu différents, mais cependant comparables, surtout en ce qui concerne l'indicateur Maihak, dont on peut considérer lerreur €’ comme déterminée de façon satisfaisante. En prenant la moyenne des résultats par série de mesures où par méthode de calcul, on peut d’ailleurs constater que les écarts des résultats sont analogues : il est difficile d'espérer mieux. :

On obtient donc comme valeur de l'erreur probable pour les deux indicateurs employés :

Maïhak........ 6’ — 0,39 Crosby New... e’ — 0,48 0),

Mais nous avons vu que cette erreur probable globale e’ était liée aux erreurs probables ep due au

planimètre et ei due à l'indicateur par la relation ei = Ve” — ep? donnant l'erreur ei cherchée, on a ‘alors, puisque ep = 0,33

Maihak......… sde M3 — 0,33: — 0,21 % Crosby New...... ei — Vo,48 — 0,332 = 0,35 /

Ces valeurs montrent l'indicateur Crosby comme légèrement inférieur à l'indicateur Maihak au point de vue de la régularité du fonctionnement; bien que l'écart soit faible, ce résultat avait été prévu d’après l'examen des deux appareils et des tracés fournis et c’est l'indicateur Maihak qui a été employé pour l’ensemble des essais, et l'étude qui suit lui est exclusivement consacrée.

On voit que l'erreur probable sur la mesure d’un seul diagramme, comparée à la valeur fournie par un nombre considérable de diagrammes semblables est avec l'indicateur Maïhak un peu inférieure REA

Il en résulte que l'erreur probable sur une série de 4 à 9 diagrammes étant deux à trois fois plus faible ne sera plus que dé 1,3 à 2 millièmes; il est donc inutile de prendre dans des conditions identiques ,c’est-à-dire avec le même ressort et le même piston d’indicateur, un nombre de diagrammes plus élevé.

En effet, ces erreurs sont inférieures aux erreurs systématiques précédemment signalées comme pouvant, dans des conditions pratiques normaies d'emploi des indicateurs, provenir soit des commandes proprement dites, des cordes, des jeux ou des frottements de l'indicateur et de sa communication avec le cylindre. 6

Nous avons, par exemple, relevé entre les deux meilleurs canaux de communicalion, une différence de 2 millièmes environ sur le moteur expérimental et cela dans des conditions exceplionnellement favorables qui se rencontrent rarement en pratique. Le paragraphe suivant montrera que d’autres causes d'erreurs accidentelles sont susceplibles d’influer davantage sur la précision des mesures.

$ D. — Erreurs dues aux ressorts.

L'expérience montre que les différents ressorts d’indicateur employés au cours d’un même essai en régime constant: donnent, pour la mesure de la pression moyenne, des valeurs légèrement différentes.

On a donc tout intérêt à ne pas se borner à l’emploi d’un seul ressort lors d’une mesure, mais au contraire à en utiliser le plus grand nombre possible, afin de diminuer cette influence perturbatrice qui apparaît comme une cause d'erreurs accidentelles

Le changement du ressort de l'indicateur ne peut, en effel, avoir aucune influence sur la pression moyenne motrice réelle dans le moteur, et la différence entre cette valeur constante el ses mesures successives par les différents ressorts représente l’erreur due à l'influence de ceux-ci.

Si le ressort a été préalablement taré d’une façon convenable et si sa flexibilité est régulière et bien connue, on n’a pas à craindre d’erreur de ce fait : cette erreur serait d’ailleurs systématique el pourrait être mise en évidence par la comparaison des résultats obtenus. Ce fait n’a pas été observé dans les mesures faites avec les ressorts Maïhak aui avaient été préalablement tarés sur une balance spéciale très précise avec le plus grand soin.

De même, si par suite d’une construction défectueuse un ressort engendrait dans le fonctionnement de l'indicateur des frottements excessifs, cette cause d’erreur systématique pourrait également être décelée par l'examen du diagramme, plus facilement même que la précédente, chose qui n’a pas eu lieu non plus dans nos mesures.

On est donc fondé à considérer les erreurs dues aux ressorts comme un phénomène accidentel, et à l’étudier de la même façon que les précédents.

Ein F ne

Les données expérimentales mises en œuvre résultent de quarante-deux mesures obtenues avec dix ressorts différents sur le même indicateur Maïhak à 12 régimes de ra du moteur, chaque essai en régime étant fait avec trois, quatre ou cinq ressorts. '

Les pressions moyennes p ont varié de 0 kg./cm? 63 à 6 kg./cm? 83 KA tout le champ d'application de l'indicateur aux moteurs à explosions étudiés sans que ces variations, cependant considérables, aient paru influer sur la valeur correspondante de l'erreur probable relative correspondante : il est loutefois impossible de se prononcer RRQU TEA ER sur ce point, le nombre des valeurs expérimentales obtenues n'étant pas encore suffisant. |

Il est cependant assez grand pour permettre de traiter le calcul des erreurs dues aux ressorts par les mêmes méthodes que les précédentes.

lo Pour cela, on a déterminé la pression moyenne p de chaque essai et calculé l'écart relatif total E” de chaque essai avec les n ressorts employés et déterminé l’écart probable correspondant e”

Ro"

par la formule e” — ce qui a fourni douze valeurs de e correspondant aux douze essais étudiés.

La moyenne de ces valeurs est e” — 0,82 o/°.

20 Ensuite, on a calculé cette erreur probable en parlant de la valeur moyenne £” de l'écart d’une mesufre fournie par un ressort à la pression moyenne p de l'essai considéré ; la relation

— (0,84 Vous £ a donné une nouvelle valeur. e” — 6,79 0/s. ñ

3o Puis les différences des pressions successives pn — pn+1 dans un même essai divisées par la pression p ont donné pour moyenne une valeur à” telle que e” = 0,6 à” = 0,80 0/0.

Les trois méthodes ont donné cette fois des résultats très peu différents et la valeur de lécart probable e” entre la mesure de la pression donnée par un seul ressort et la moyenne obtenue en utilisant plusieurs ressorts peut être prise égale à 0,80 0/0 avec une bonne précision.

Mais cette erreur e” dépend également des erreurs dues au planimètre ep et à l'indicateur ei. On en déduit l'erreur probable due au ressort seul er Si la relation indiquée au paragraphe A.

= jai Le [nel ce Cine l'e"2

n étant le nombre de diagrammes identiques enregistrés avec un ressort; nous avons vu que n = 5 en moyenne, et que e’ = 0,39 avec l'indicateur Maïhak. On a alors : er — 0,78 0).

Telle est la valeur la plus probable de l’erreur probable due à l'influence seule des ressorts.

On remarque immédiatement que cette erreur probable est beaucoup plus importante que les

erreurs dues au planimètre ep — 0,33 0, et à l'indicateur proprement dit er — 0,21 °,, lesquelles donnent une erreur, probable sur un seul diagramme e’ — 0,39 v, correspondant à une série de

V5 Cette valeur est petite devant er = 0,78 */, puisqu'elle accroit l’erreur probable résultante e” de 0,78 à 0,80 o/o seulement, comme on vient de le voir. Il n'y a donc aucun avantage à accroître n dans le but de diminuer e”.

cinq diagrammes à une erreur probable —= 0,16 0.

Tout au contraire, l'intérêt qu’il y a à augmenter le nombre r des ressorts utilisés à un essai est évident puisque l'erreur probable sur lessai est

Dans nos essais, on a eu dans l’ensemble une valeur de r voisine de 4, dans ces conditions, l'erreur probable a été égale sensiblement à 0,40/0 étant bien entendu que l'erreur dont il est queslion ici n’est que l'erreur accidentelle due aux causes envisagées dans le calcul et à laquelle viennent s'ajouter toutes les causes d'erreurs systématiques précédemment définies, variables d’une machine à l’autre, et qu’il est pratiquement impossible de chiffrer, tous les soins de l’expérimentateur devant seulement tendre à les rendre les plus petites possibles.

Mais, tout bornés qu'ils soient à la détermination des erreurs accidentelles, les calculs précédents n'en présentent pas moins un intérêt pratique certain. Ils permettent ,par exemple, de critiquer un usage très répandu parmi les techniciens qui ont à faire des essais à l'indicateur et qui se bornent à l’emploi d’un seul ressort d’indicateur tout en relevant souvent un nombre considérable de diagrammes dans: l’espoir d'augmenter ainsi la précision de leurs mesures, procédé évidemment très imparfait dans son principe.

Sa =

Pour opérer un choix rationnel de n nombre des diagrammes pris avec un même ressort, el de r nombre des ressorts, le nombre total N = nr de diagrammes que l’on a décidé de prendre dans l'essai étant donné, on devrait faire usage de la relation

M er ce | ie n

les deux erreurs probables er et e’ étant les données du problème.

On déterminerait alors les valeurs de r el n les plus avantageuses pour la précision des mesures, C'est-à-dire celles qui rendent minima Terreur relative probable d'ensemble E sur lessai tout entier .Le calcul de ces deux valeurs est extrêmement simple puisqu'il suffit d'annuler la dérivée de la quantité sous le radical f que l’on peut écrire.

Creer ie RSR On a donc :

d f er ? e'? mo] ere 9 Pi N ë PR Le Der PL er ou AN ER et ÉPIRE

Une application numérique montrera lintérêl de celte détermination. Supposons que l’on veuille

faire avec l'indicateur Maiïhak un essai en régime pour lequel on décide de relever N — 36 diagrammes.

On a vu qu'avec cet appareil er — 0,78 e'—0,39 K L 2:

On a donc na = soit n = 3 et par suite Ta — da.

On devra donc relever trois diagrammes seulement avec chaque ressort et faire emploi de douze de ceux-ci, afin d'obtenir l'erreur d’ensemble minima qui serait alors :

Em = 4/ 0:78, 0,39? — 0,32 oh

tandis qu'en suivant l’usage courant el en employant un seul ressort, on obtiendrait avec n—36 r—1 E — ss à 039? = 0,81 vo

soit une erreur probable presque triple de la précédente ;le gain en vaut donc la peine. On trouvera ci-dessous les raison qui nous ont empêché de nous placer dans les conditions de précision optima lors de nos essais à l'indicateur.

$ E. — Choix des ressorts. — Ses limites.

Nos efforts, en effet — bien que guidés au début par des considérations différentes, basées sur les résistances de frottement engendrées dans lindicateur par les différents ressorts et qui sont

exposées plus loin — ont toujours tendu à lPemploi du plus grand nombre possible de ressorts dans chaque essai, soil ,en pratique, tous ceux qui se trouvaient utilisables dans les conditions de marche envisagées. 6

Les résultats des calculs d’erreurs précédents, bien que venant après coup puisqu'ils sont basés sur l’ensemble des mesures faites, justifient celte tendance de façon complète.

Le nombre malgré tout très modeste, en moyenne voisin de quatre, des ressorts employés à chaque essai tient, en effet, à des raisons de disponibilités matérielles et à des limites pratiques imposées dans le choix des ressorts. ,

L'indicateur Maïihak employé nous a été, en effet, livré muni de dix ressorts, nombre pourtant très supérieur déjà à la coutume, quatre ressorts ont été livrés ensuite pendant le cours des essais, et deux sont encore attendus à l’heure actuelle.