INTRODUCTION

Les recherches que je vais résumer se rapporlent à une classe très étendue de surfaces dont la propriété caractéristique ne semble pas avoir été remarquée avant Jacobi. Elle consiste dans la possibilité, pour leur élément linéaire, d'acquérir la forme

é/*«= (U — V)(Ui c?a«-h V, rft^«),

les U étant des fonctions de la seule variable w, et les V de v. Ce n'est pas ici le lieu de rappeler comment Jacobi, aj^ant ramené à cette forme Télément linéaire des quadriques, a déterminé les lignes géodésiques de ces surfaces; ni comment Liouville a étendu à toutes les surfaces de la classe ce résultat important, extension qui pouvait, comme on sait, s'obtenir sans modifier en quoi que ce fût la méthode de Jacobi. Ainsi se trouvait fondée la théorie des surfaces dont nous allons nous occuper et que nous propo* sons d'appeler sur/aces harmoniques. On pensera avec nous que cette dénomination est amplement justifiée, qu'elle s'impose presque, si Ton veut bien être attentif à l'identité des problèmes fondamentaux concernant l'élément linéaire de ces surfaces et les équations qui ont reçu le nom (^équations harmoniques. Je n'insisterai pas sur cette identité, qui se manifeste à toutes les pages du chapitre que M. Darboux consacre à ces équations dans ses Leçons sur la théorie générale des sur/aces (*). Il était d'ailleurs indispensable de rappeler par un adjectif la propriété de

(«) T. II, Livre IV, Chap. IX.

ces surfaces, pour pouvoir caractériser brièvement celles qui la possèdent à divers titres. Il existe, en effet, des surfaces dont Télément linéaire peut être ramené de deux manières différentes, et, par suite, d'une infinité de manières, à l'une des formes équivalentes

é/5*= (U — V)(U, rfa«-+- Vi dv^),

rf5*= [<?(a?-+-y) —f{x — y)\dxdy,

qui seront pour nous les formes harmoniques. A ces surfaces nous donnons le nom de surfaces doublement harmoniques. Les surfaces simplement harmoniques sont celles qui ne jouissent pas de cette propriété. Les éléments linéaires sont désignés comme les surfaces auxquelles ils appartiennent.

Bien que Liouville eût appelé l'attention sur les surfaces harmoniques en étudiant leurs géodésiques et en déterminant les formes harmoniques de l'élément linéaire du plan, la théorie de ces surfaces semble avoir été délaissée jusqu'à l'époque où M. Massieu, s'occupant après M. Bertrand des intégrales algébriques des problèmes de la Dj^namique, fit connaître, dans sa thèse de doctorat (i8()i), deux propositions capitales, relatives, la première aux surfaces de révolution, qui sont des surfaces harmoniques particulières (/= o), la seconde aux surfaces harmoniques proprement dites. Les résultats de M. Massieu se trouvant exposés, complétés même, dans l'Ouvrage de M. Darboux (*), nous ne les transcrivons pas ici tout au long. Nous prenons d'ailleurs le second comme point de départ de toute notre première partie.

Quelques années après M. Massieu, Ossian Bonnet, dans l'importante Addition jointe à son Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée (2), s'est occupé incidemment des surfaces harmoniques. Il a montré que les quadriques sont les seules surfaces dont l'élément linéaire acquière la forme harmonique quand on les rapporte aux paramètres u ei v de leurs lignes de courbure.

(«) T. III, Livre VI, Chap. II.

(') Journal de V École Polytechnique, l\2* Cahier; 1867.

M. Dini ( * ) a fait connaître en 1 869 celte propriété générale des surfaces harmoniques : Si deux sur/aces sont telles qu^il existe entre les points réels de Vune et ceux de Vautre une correspondance conservant les lignes géodésiques, ces deux surfaces sont harmoniques» On dit qu'on peut faire la représentation géodésique de l'une sur l'autre.

C'est peut-être en étudiant dé plus près ce problème de la représentation géodésique, sans exclure les correspondances imaginaires, que M. Lie a été conduit à la recherche toute différenle des transformations infinitésimales qui conservent les géodésiques d'une même surface. Il a publié sur cette question un Mémoire étendu (^) dont nous parlerons plus loin, et dans lequel apparaît la notion d'élément linéaire doublement harmonique. Nous n'en retiendrons ici qu'une proposition détachée (note 5), sur laquelle nous n'aurons pas à revenir : Toute surface minima, qui est en même temps une surface harmonique, est applicable sur une surface de réi^olution.

Plus récemment encore, M. Darboux, dans son ouvrage déjà cité (Livre IV, Chap. IX), a fait connaître un élément linéaire réductible d'une infinité de manières à la forme harmonique; et il a signalé comme devant faire le sujet d'une recherche difficile la détermination générale de tous les éléments linéaires jouissant de la même propriété. En outre, il a indiqué (Livre VI, Chap. II) un moyen de trouver ceux de ces éléments linéaires qui conviennent à des surfaces de révolution.

Dans un tout autre ordre d'idées, M. J. Weingarten a obtenu deux résultats de la plus haute importance. Il a d'abord (') déterminé toutes les surfaces admettant l'élément linéaire

ds^ = du* -h 2( w — p* ) dv^,

qui est harmonique comme appartenant à une quadrique (paraboloïde imaginaire). Généralisant ensuite (^) la transformation qui lui avait réussi dans ce cas, il en a déduit toutes les surfaces

(*) Annali di Matematica, t. III.

(') Untersuchungen iiber geodàtische Curven {Afathem, Annalen, t. XX; 1882}.

(') Gôttinger Nachrichten; 1887.

(*) Comptes rendus Acad. des Sciences^ t. CXII; 1891.

~ 4 — dont rélément linéaire est

ds^= cfM*-f-2(a4- - -H e*^A dv^

et convient à d'autres paraboloïdes, imaginaires aussi.

Tout ce qui constitue aujourd'hui la théorie des surfaces harmoniques, en dehors des travaux que nous venons d'énumérer, est contenu, à fort peu de chose près, dans nos Recherches. C'est ce qui résulte du rapport présenté à l'Académie des Sciences ( ' ) sur le concours dont cette théorie a fait le sujet. Le Mémoire couronné traite exclusivement des éléments linéaires doublement harmoniques, dont la détermination complète forme la seconde partie de mon travail. Un autre, qui a partagé avec le mien une mention honorable, ne contient, sauf quelques théorèmes communs aux trois mémoires approuvés, que les deux beaux résultats mentionnés ci-dessus, le second trouvé sans nul doute avant que M. Weingarten le publiât.

Nous ne nous occupons dans ces Recherches que de déterminer des éléments linéaires jouissant de certaines propriétés assignées à l'avance. Ainsi nous trouvons, entre autres, tous ceux qui conviennent à des surfaces harmoniques en même temps qu'à des surfaces réglées ou à des spirales, et tous ceux qui sont doublement harmoniques. Il j aurait intérêt assurément à connaître les surfaces qui correspondent à ces éléments linéaires. Mais de pareils problèmes sont, en général, comme Ossian Bonnet Ta dit, au-dessus des forces de l'anal^'se actuelle. Plus d'un, d'ailleurs, parmi ceux que nous résolvons, présentait déjà des diffîcultés considérables, qu'on pourra mesurer aux ressources mises en œuvre pour les surmonter. Nous allons passer en revue les trois Parties de notre travail.

Première Partie (^). — Nous commençons (Chap. l) par rappeler le théorème fondamental de M. Massieu et nous le met-

(') Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, séance du 19 décembre 1892, t. GXV, p. 1122.

(>) Publiée dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, année 1896.

Ions sous une forme particulière qui permet d'en faire deux applications importantes :

Pour qu^un élément linéaire donné

soit réductible à la forme harmonique, il faut et il sufjlt qu^on puisse, en choisissant convenablement les deux fonctions A et W de la seule variable i^, satisfaire aux deux équations

Comme première conséquence nous en déduisons (Chap. Il) que toute surface harmonique à lignes d^ égale courbure parallèles est applicable sur une surface de révolution (*). Ce théorème permet de classer (deuxième Partie) les éléments linéaires harmoniques et intervient aussi (troisième Partie) dans la recherche de ceux qui conviennent à des spirales.

La seconde application (Chap. III) est la détermination complète des surfaces réglées harmoniques. Ecartant celles de ces surfaces qui résultent de la déformation de la sphère, nous prouvons que toutes les autres sont applicables sur des surfaces du second degré, réelles ou imaginaires, à moins qu^ elles ne soient applicables sur des surfaces de révolution (^). Ce théorème les définit suffisamment, puisque Ton connaît toutes les déformations dans lesquelles les génératrices des surfaces réglées restent rectilignes. Au cours de la démonstration, nous donnons, sans les établir, des formules qui paraissent indispensables à Tétude des quadriques considérées comme surfaces réglées.

Le Chapitre IV est consacré aux intégrales linéaires et quadratiques de l'équation aux cercles géodésiques, telle que l'a présentée M. Darboux (^). Nous montrons d'abord que l'intégrale

(') L. Raffy, Sur une classe de sur/aces harmoniques {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. GXII, p. 4^4! 1^90*

(*) L. Raffy, Détermination des sur/aces harmoniques réglées {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CX, p. 323; 1890).

(•) Leçons sur la théorie des sur/aces, t. III, Livre VI, Chap. VII.

linéaire n'exisle que pour les surfaces de révolu lion : c'est la réciproque d'une proposition de M. Darboux et la généralisation du premier théorème de M. Massieu. Nous étendons ensuite le second théorème de M. Massieu en prouvant que, s'il existe une intégrale quadratique, la surface est généralement harmonique; mais nous avons bien soin de discuter un cas particulier qui conduit à certaines surfaces représentables géodésiquement sur d'autres surfaces avec conservation d'une seule famille de lignes de longueur nulle. Il va sans dire que l'intégrale quadratique n'existe pas pour toutes les surfaces harmoniques. Nous formons l'équation fonctionnelle dont dépendent les éléments linéaires à intégrale quadratique et nous en indiquons diverses solutions.

Deuxième Partie ('). — La deuxième Partie a pour objet la détermination des éléments linéaires doublement harmoniques. Il s'agit de trouver toutes les fonctions ^{oc-^y) et f{x — y) qui vérifient, conjointement avec deux autres fonctions inconnues X(a:) et Y(^), l'équation différentielle indéterminée

Pour en faciliter la résolution, nous commençons (Chap. 1) par classer les éléments linéaires harmoniques en appliquant, avec des simplifications appropriées, la méthode des différenliations réitérées, dont Abel a donné le principe. Cette analyse conduit à distinguer successivement les développables, puis les surfaces à courbure totale constante, puis les surfaces de révolution doublement harmoniques. Elle montre que, si un élément linéaire donné sous la forme harmonique {tf — f)dxdy n^ appartient à aucune de ces trois catégories de surfaces, la différence X — Y est déterminée à un facteur constant près, ses deux dérivées logarithmiques pouvant être tirées de l'équation précé-

( * ) Publiée dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4" série, tome X; 1894.

dente. On arrive ainsi aux conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tel élément linéaire soit doublement harmonique.

Le Chapitre se termine par l'exposé de deux lois intuitives (M qui, bien qu'essentiellement distinctes, concourent à faire connaître des exemples nouveaux d'éléments linéaires doublement harmoniques; l'une est la loi de passage, l'aulre la loi de réciprocité. La première détermine, dans tous les cas qui exigent des intégrations, l'ensemble des solutions X et Y qu'admet Téquation (E) quand les fonctions © et/sont données. La seconde, qui permet, connaissant un système de solutions X, Y, © et /de cette équation, d'en écrire un autre sans calcul, fournit alors de nouvelles solutions à l'aide des précédentes.

C'est pourquoi nous effectuons au Chapitre II la recherche de toutes les solutions de l'équation (E) quand (ç — f)dxdy est l'élément linéaire d'une développable ou d'une surface à courbure constante.

Pour la même raison, je résume au Chapitre III les calculs par lesquels j^avais déterminé (^), ne connaissant pas la solution encore inédite de M. Darboux, les éléments linéaires des surfaces de révolution doublement harmoniques. J'établis en passant que deux pareilles surfaces, choisies d^une manière quelconque, peuvent être représentées géodésiquement l'une sur l'autre, et je donne toutes les solutions correspondantes de l'équation (E).

Avec le Chapitre IV nous abordons la recherche générale des éléments linéaires doublement harmoniques. Après les avoir classés d'après le nombre de leurs intégrales quadratiques, nous rappelons celui que M. Darboux a découvert,

et qui a déjà été mentionné précédemment. Nous montrons

(') L. Raffy, Sur les éléments linéaires doublement harmoniques {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CIX, p. 609; 1889)

(•) L. Raffy, Sur un problème de la théorie des surfaces {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVIII, p. 49^; 1889). — Sur un problème de la théorie des surfaces { Bulletin des Sciences mathématiques, t. XIII3, p. 161 ; 1889).

comment il devait nécessairement s'offrir dès qu'on appliquait (^) les deux lois de passage et de réciprocité à l'élément linéaire {x -^y)~^ dx dy des surfaces à courbure constante et nous réunissons dans un tableau les di.x solutions nouvelles auxquelles conduit cette application (les surfaces de révolution doublement harmoniques n'en fournissent pas). A ce moment, nous nous trouvons connaître, comme éléments doublement harmoniques : 1° ceux des surfaces développables (six formes); 2" ceux des surfaces à courbure totale constante (cinq formes); 3° ceux des surfaces de révolution doublement harmoniques (seize formes); 4** les éléments linéaires réciproques de ceux des développables (cinq formes); 5** les éléments linéaires réciproques de ceux des surfaces à courbure totale constante (cinq formes).

Le reste du Chapitre est employé à démontrer qu'// n^en existe point d^ autres, ainsi que je l'avais depuis longtemps pressenti (2). A cet effet, je commence par établir que toutes les fonctions X, Y, (f^ f qui satisfont à l'équation (E) sont des fonctions uniformes^ propriété importante, dont j'expose deux démonstrations, la première fondée sur les résultats précédemment acquis, la seconde directe. Toutes deux procèdent de cette remarque qu'il n'y a qu'à prouver l'uniformité de l'une des quatre fonctions X, Y,? et/.

Toutes les solutions de l'équation (E), dans le cas des développables, des surfaces à courbure constante et des surfaces de révolution doublement harmoniques sont uniformes; il suffit donc de montrer qu'il en est encore de même quand l'élément linéaire (? — f)^^^y n'appartient à aucune de ces trois catégories de surfaces. C'est là l'objet du premier raisonnement : supposant que les fonctions considérées et leurs dérivées des deux premiers ordres n'ont aucune ligne de discontinuité, je montre en quelques lignes que, si X ou Y n'était pas uniforme, les dérivées logarithmiques de X — Y dépendraient d'au moins une constante arbitraire, contrairement au théorème du Chapitre I.

(') L. Raffy, Sur les éléments linéaires doublement harmoniques {Comptes rendus des séances de rAcadémie des Sciences f t. CIX, p. 609; 1889). (') Même Communication.

La seconde démonstration (*) repose sur la propriété de l'équation (E) de pouvoir être intégrée deux fois, de manière à fournir Y, par exemple, au moyen de quadratures, quand les autres fonctions sont considérées comme connues. On trouve ainsi

^" (* -H F)2^ $( a:)(* + F) -H Çi(ar),

en posant

F{z)=J/(z)dz,

et désignant par Ç et Ç4 deux fonctions de x introduites comme constantes d'intégration. Cette expression de Y contient x en apparence, mais en est indépendante. Pour établir qu'elle est fonction uniforme dey^ j'emploie un mode de raisonnement nouveau, je crois, dans la théorie des fonctions et appelé à bien d'autres usages. Assignant ky une valeur fixe b et faisant décrire à la variable x dans son plan tous les chemins fermés qui ont pour origine el pour extrémité un point quelconque a: = a, je montre que tous ces chemins ramènent finalement la valeur initiale de Y, les diverses fonctions qui interviennent dans le problème étant supposées n'avoir que des points singuliers isolés. Ensuite, grâce à la forme linéaire des arguments x -\-y et x — y par rapport aux variables indépendantes x etj^, je fais voir qu'à tout chemin décrit par la variable y dans son plan, partant de b pour y revenir, on peut substituer un chemin convenable décrit par la variable x dans son plan, du point a au point a, tandis que j^ garde constamment la valeur b. Ainsi se trouve complètement démontrée l'uniformité de la fonction Y et, par suite, de toutes les solutions de l'équation (E).

Ce résultat une fois acquis, je mets en évidence les théorèmes suivants :