I. Les quatre fonctions X, Y, <f,/ ne présentent à distance

(') Cette démonstration, inachevée dans le texte primitif, est Tune des deux que le rapport de l'Académie vise comme insuffîsantes.

finie d^ autres singularités que des pôles doubles à résidu nul.

II. Si l'une d'elles admet plus d'un pâle à distance finie, les quatre /onctions sont périodiques; si l'une d'elles admet trois pôles formant un triangle, toutes les quatre sont doublement périodiques ; si l'une déciles n'a qu'un seul pôle à distance finie, les autres n'en ont pas davantage.

III. Si l'une d'elles est doublement périodique, l'élément linéaire rentre dans le type de M. Darboux.

Pour achever la solution, je résous ce problème beaucoup plus général :

Trouver toutes les fonctions X(a:) qui sont uniformes et qui deviennent des fonctions uniformes de Ç par le changement de variable

On voit, en effet, immédiatement que les fonctions X qui vérifîent Téquation (E) jouissent de cette double propriété.

En faisant décrire aux variables a: et Ç les contours qui conduisent aux différentes déterminations des intégrales inverses

dx r d\

on s'assure que X et S sont des fonctions périodiques de leurs arguments. Même après cette première réduction le problème nouveau semble loin d'être résolu, plus encore à cause de la nature en apparence si indéterminée des fonctions X et a que de la multiplicité des' cas particuliers correspondant aux hypothèses possibles sur le nombre de leurs périodes effectives (deux, un ou zéro). Mais, par un raisonnement fondé sur la considération des périodes des intégrales Ç et j?, et qui convient à tous les cas, je montre qu'il existe une relation homographique à coejficients constants entre l'une des fonctions p($), sin^Ç, <?^, \^ ou \ à' une part et l'une des fonctions p{x), sin^a:, e^, x^ ou x d'autre

part (*). Cette relation détermine dans chaque cas les fonctions X(^) et S($). En lui donnant toutes les formes dont elle est susceptible, on retrouve naturellement toutes les expressions de X obtenues dans les Chapitres II et III ainsi que dans le présent, mais on rCen trouve aucune nouvelle.

Nous connaissons alors les formes analytiques, parfaitement déterminées, que peut revêtir X*, ce sont certaines fonctions rationnelles, soit de p{x), soit de e*, soit de x lui-même, comportant au plus huit constantes arbitraires; ce sont aussi les formes possibles de Y et, d'après la loi de réciprocité, les fonctions cp et y n'en ont pas d'autres. La détermination complète de tous les éléments linéaires doublement harmoniques est ainsi ramenée à une pure question de calcul algébrique : substituer dans l'équation (E) les diverses expressions connues de X, Y, cp,y et déterminer les constantes arbitraires de façon que cette équation soit vérifiée quels que soient x et y. Les résultats précédemment acquis (en parliculier les théorèmes I, II et III) et quelques considérations simples de périodicité réduisent considérablement le nombre des essais, et l'on établit en toute rigueur la proposition énoncée au début du Chapitre. Ainsi se trouve complètement résolu le problème des éléments linéaires doublement harmoniques.

Le Chapitre V traite des surfaces que M. Lie, dans son Mémoire déjà cité, a appelées surfaces de troisième classe. Nous montrons que ces surfaces sont comprises parmi les surfaces doublement harmoniques, sauf une catégorie assez restreinte, qui peut n'y pas rentrer. La détermination de leurs éléments linéaires est implicitement contenue dans le Chapitre précédent, puisqu'il suffit de particulariser les constantes restées arbitraires dans nos formules pour satisfaire à l'équation du problème, que M. Lie a donnée sans la résoudre.

La troisième classe étant loin de comprendre tous les éléments linéaires doublement harmoniques, M. Lie a rencontré parfois

(*) Nous négligeons les indéterminées qui pourraient multiplier les deux variables ou s'ajouter à elles. — Cette proposition n'était pas établie rigoureusement dans le texte primitif.

de tels éléments linéaires, qu'il particularise aussitôt, pour les faire rentrer dans la troisième classe, mais sans mentionner leur propriété d'être doublement harmoniques. Il nous a suffi de la mettre en évidence sur trois d'entre eux pour arriver à cet énoncé, qui complète la théorie de la représentation géodésique : Toute surface susceptible d'être représentée sur certaines surfaces avec conservation d'une seule des deux familles de lignes de longueur nulle et sur d'autres avec conservation de ces deux familles est une surface doublement harmonique.

Troisième Partie (*). — L'objet de cette dernière Partie est la détermination de tous les éléments linéaires harmoniques qui conviennent à des spirales.

Au début du Chapitre I, j'indique les premières solutions du problème, fournies par le théorème de M. Maurice Lévy : l^out élément linéaire homogène ^ de degré autre que — 2, appartient à une infinité de spirales. Tel est le cas de celui-ci

(m) ds^={au»^ — bv''*){du'^-^dv^),

qui est visiblement harmonique. En faisant croître ou décroître m indéfiniment, on en déduit ces deux, autres

qui conviennent également à des spirales. Ces solutions une fois signalées, nous posons le problème dans toute sa généralité. Il s'agit de résoudre complètement, dans le cas des spirales, l'équation diSerentielle indéterminée

qui exprime que l'élément linéaire e^ rfa? rfy acquiert la forme harmonique par le changement de variables

( ' ) Pabliée dans les Annales de l'École Normale supérieure, année 1896.

Comme on a, pour les spirales,

u> =— r(a?-— 7)H- IT(t)dt, t = a?-f-^, il vient

( 2X(T'-4-T«— 2tT — l) — 2Y(r-f-T«H-2iT-l)

Telle est l'équation qui nous a permis (*) de déterminer tous les éléments linéaires cherchés et, en outre, de distinguer ceux qui sont doublement harmoniques de ceux qui ne le sont point.

Avant d'en commencer la discussion, je fais voir (\\xe pour les spirales simplement harmoniques les fonctions X ei Y sont nécessairement de la forme

A^ B et r étant trois constantes dont la dernière peut être nulle. C'est pourquoi nous résolvons Téquation (S), d'abord en réduisant X et Y à des constantes, ce qui conduit à l'élément linéaire (e), puis en prenant pour X et Y les exponentielles; il faut alors intégrer une équation de Kiccati; mais il est possible d'en trouver une solution et l'on arrive ainsi aux deux éléments linéaires (m) et (/).

Le Chapitre finit paf la détermination (^) des éléments linéaires qui conviennent à la fois à des spirales et à des surfaces de révolution. Ils rentrent tous dans le type

ds^ = (x -\-y)'^ dx dy,

trouvé par M. Lie pour l'élément linéaire des surfaces dont les géodésiques admettent plusieurs transformations infinitésimales conformes.

Au Chapitre II je traite complètement l'équation (S). En effectuant sur elle les transformations générales étudiées tout au début de la seconde Partie, on est conduit à distinguer d'abord les spi-

(*) L. Raffy, Sur les spirales harmoniques {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. CXII, p. 5i8; 1891).

(•) L. Raffy, Sur la déformation des sur/aces spirales {Bulletin de la Société mathématique de France, t. XIX, p. 65; 1891).

raies à courbure cooslante, qui sont forcément des développables, puis les spirales applicables sur les surfaces de révolution; il n'y a lieu de revenir ni sur les unes ni sur les autres. Ces deux cas particuliers une fois écartés, l'équation (S) permet d'exprimer X' et Y' en fonction linéaire de X et Y, et comme ses coefficients ne dépendent que de T et T', on a

(t) X' = TiX-+-T,Y, Y' = T,X-i-T4Y,

les lettres T/ désignant des fonctions rationnelles de T et de ses quatre premières dérivées. De ces expressions on pourrait déduire X"et Y'' qui seraient linéaires et homogènes en X et Y. Substituant X', Y', X" et Y'' dans l'équation (S), on trouverait un résultat de la forme

X/i(0-hY/,(0=o;

en sorte que, si le rapport Y : X n'était pas une fonction de t, c'est-à-dire si l'on ne faisait pas

X = A ec', Y = B e-cy, hypothèse étudiée précédemment, on devrait poser

Ce seraient là deux équations différentielles du cinquième ordre pour la fonction T, réductibles, il est vrai, au quatrième, puisque la variable indépendante n'y figurerait pas. Mais telle serait la complication de ces équations que, loin de pouvoir les discuter, on serait presque dans l'impossibilité de les écrire explicitement. C'est pourquoi je procède d'une tout autre façon. Laissant provisoirement de côté la recherche de la fonction T, je considère les fonctions T^ comme des fonctions inconnues, sans relation entre elles, et je démontre que le système (t) admet deux solutions et deux seulement, dont la première est

X =(Aa:-t-a)c<», Y = (Bj^ -H p)c-%

(I) ^ ^*'" ABf-^Ap^-Ba■^^' ^•■" AB/ -^ Ap -^ Ba'

A«gg^ ^ AB

•" ABf-^Ap-hBa' *"" AB^ + Ap-hBa ^'