LES SURFACES DE RÉVOLUTION DOUBLEMENT HARMONIQUES

i . Les surfaces de révolution dont nous allons nous occuper sont celles dont l'élément linéaire est réductible à la forme harmonique

ds^=^\^{x^y)-f{x--y)\dxdy,

autrement qu'avec la restriction (p/= o qui caractérise toutes les surfaces de révolution. On peut dire que ces surfaces sont celles pour

lesquelles le problème des géodésiques admet à la fois une intégrale linéaire, comme pour toutes les surfaces de révolution» et une intégrale quadratique, distincte du carré de l'intégrale linéaire. C'est en posant la question dans ces termes que M. Darboux Ta résolue ( * ). Il prend l'élément linéaire d'une surface de révolution sous la forme

et montre que la fonction U'(w) est définie par l'équation

où m, n et m' sont trois constantes arbitraires.

Il convient pour notre objet de pousser plus loin les calculs, puisque nous nous proposons non seulement de déterminer toutes les formes harmoniques que peut revêtir l'élément linéaire des surfaces considérées, mais aussi d'obtenir toutes les solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques, dans l'hypothèse où (9 — f)dxdy est un élément linéaire de surface de révolution.

2. A cette fin nous commencerons (*) par trouver toutes les fonctions X de X -\- y seulement qui satisfont à V équation fondamentale

2xx>- 2 Yx;. 4- 3X'x;.- 3 y'x;.-4- (X"- Y")X = o.

En procédant exactement comme au début du Chapitre premier, nous rencontrons d'abord les surfaces à courbure totale constante. Nous ne nous y arrêterons pas, ayant au Chapitre II complètement résolu dans ce cas les deux problèmes indiqués.

Dès lors l'équation (3) du Chapitre I n'est pas une identité. On

(* ) Leçons sur la théorie des surfaces, t. III, livre YI, n® 506.

(') [L. Rakfy, Sur un probtème de la théorie des surfaces {Comptes rendus de t' Académie des Sciences, t. GVIII, 1889; p. ^93). — Sur un problème de ta théorie des surfaces {Bulletin des Sciences mathématiques, t. XIH,, 1889p. i6r)].

Journ, de Math. (4« série), tome X. — Fasc. IV, 1894. 4^

348 L. RAFFY.

en tire pour le rapport (X' -- Y') \(X — Y) une expression qui ne dépend que de a; -h^. Si Ton introduit les variables auxiliaires

on voit que la dérivée logarithmique

X^- Y^ ^o<ç( X -Y) X - Y "" ^ Ot

est fonction de / seulement, de sorte qu'on a