X -\ = ^{x -^ y)yX^ - y
La résolution de cette équation indéterminée, qui entraine immédiatement
-7- = ^ = const.,
ne présente pas de difficulté. Connaissant les fonctions '>}; et 7, on connaît X et Y. Leur forme est telle qu'on peut toujours intégrer l'équation diflérentielle linéaire du second ordre qui détermine X. Il n'y a plus alors qu'à transformer X(u; H- ^) rfor rf^ au moyen des relations
v/X(^) ^ vY(7)
pour obtenir toutes les formes harmoniques de l'élément linéaire des surfaces considérées. Mous les réunirons avec d'autres résultats dans un Tableau placé à la fin du Chapitre. Nous n'écrirons ici que les quatre types primitifs d'où elles dérivent :
(I) rf5^=P(a;-f.y)rfxrf7,
(II) rf,^ = [Jl^Q],/^,/^,
(III) ds' = \\^e'^^^^^^Çle'^^\dxdy,
( IV) ds^ = 7^-77 , 4- ^rrr^ ^ dx dy.
Les lettres P et Q désignent des constantes arbitraires. Nous avons négligé celle qu'on peut ajouter à Targument x -\- y ci celle par laquelle on peut multiplier les variables.
3. Remarque. — 11 n'est pas sans intérêt de signaler une propriété des surfaces qui nous occupent. Dans son Mémoire sur les lignes géodésiques (*), M. Sophus Lie n'aborde pas le problème des surfaces de révolution doublement harmoniques; mais trois des types cidessus se rencontrent dans la Note I de ce Mémoire, consacrée à une étude approfondie de la représentation géodésique des surfaces. M. Lie recherche en effet toutes les représentations géodésiques des surfaces d'élément linéaire
( I ) ds^ = (x H- j^) dx dy
et distingue particulièrement les deux classes de surfaces qui ont respectivement pour éléments linéaires les deux expressions
ds^ = (xy -h i)dx dy^
ds^ = I 1 ■+■ dx dyj
dont la première revient à notre type (III) et la dernière à notre type (IV). Mais notre type (II) répond aussi à la question. En effet le théorème de M. Dini s'applique à l'élément linéaire
ds^ ^ (U - V) (Uî rfw»-+- V; rfr^),
lors même que les fonctions V et V, se réduisent à des constantes. Quand M. Lie, partant de
(au — bv)(^du^ — rfp^), trouve (p. 429) par l'emploi de ce théorème l'expression
f-J L ) f .^îi! ^^ V
(*) Untersuchungen ùber geodàlische Curçen (Mathenu Annalen^ l. XX p, 357-454).
'OO L. RAFFY.
rien n'empêche de supposer b nul, ce qui conduit à notre type (II). Kn conséquence, on a ce théorème :
Deux surfaces de révolution doublement harmoniques^ choisies iVune manière quelconque y peuvent être représentées géodésiquement l'une sur l'autre,
4. Pour déterminer toutes les solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques quand (ç — f)dxdy est Tune des formes dérivées des quatre types précédents, nous ferons l'application réitérée de la loi de passage exposée au Chapitre I.
Nous groupons ensemble sous le même numéro, avec des indices différents, les solutions qui correspondent aux éléments linéaires transformés d'un même type. Soit ( J) l'un de ces types X(^ -+- r^^d^dr^ écrit avec les lettres ^ et y] à la place de x et de y. Représentons par
(i) dr. = - — ^ — > dy = '
le changement de variables particulier qui opère le passage de (J) à une certaine de ses formes dérivées ( J/) et par
le changement de variables général qui opère le passage de (J) à l'une quelconque de ses formes dérivées. Si Ton pose
, dx , dy
dXi = « dy, =:= - ^-- >
les expressions écrites sous les radicaux représentent de lu manière la plus générale les fonctions X et Y propres à opérer le passage de la forme (J,) à l'une quelconque des autres formes dérivées du type (J), pqurvu qu'on en chasse Ç et y] par l'emploi des relations (î), afin de n'y laisser subsister que x eiy. On obtient ainsi le Tableau suivant, où tous les coefficients désignent des constantes arbitraires.
I X= car -h m, Y = cj^-f-n;
/ cp =(m-f-/i)(ar-f-^)-+-Y, / = (n — m)(x —j^)^^^^
i X= ha, Y=:-^-H^;
f X = /na7~*-hc, Y = /i^-*-f-c.
(lui
( X = aa7«-h 6arH- c, Y = a^* — &^ -f- c;
I X= aar*-i-6 -h car-', * Y = aj* -h 6 -h c^-« ;
* ( X= a-f-6c-»*-f-cc-**, Y = « — ôc-'r-hcc-*^;
/Il X I ? = Pcos-«(jr-i-^)— Qcos«(ar-h7)+ Y, /= P cos-«(a7 — j')— Q cos»(a:— j/*)-»- Y, ( 1I3 ) <
( X = (acos*2ar H- 6 cos2a:-h c) sîn-'ajr, Y = (acos'2^ — 6 cosaj' + c) sîn-'a^r.
