L. RAFFY

3** Solutions provenant du système 11,

^,'z= ^'(T-r.e-"— cos ^J^l±l}

dx dy

= (e' "^-h e'C-^-V dx' dy.

^52= e-'^'^-r^ e *- \i -h e ' « ) dx dy

= \{^'^yr^ i^'-yy-^ /[(^'+ /) - (^•'- y')]\ dx' dy.

^5* = e-'(^— r) cos .. e/x dy

rf^»— (T-'^^-r) / sin^ — g-î^ -h cos* — ^-^ j dx dy

z=z\{x'-^yn{x^^yy-^'/Y-(x'-yn{x'-yr-Yy\dx'dy.

Remarque. — La solution (r) rentre dans le type (m). La première des solutions 3° rentre sous sa dernière forme dans le type (e). Les trois suivantes rentrent pour y'=o dans le type (m). On peut donc dire que le type (m), avec ses formes dégénérées, comprend tous les éléments linéaires de spirales harmoniques; mais il ne les représente pas tous sous leur forme la plus générale.

Distinction des spirales simplement harmoniques et des spirales doublement harmoniques.

14. Cette distinction va se faire sans difficulté, par la simple comparaison des résultats que rapproche le tableau précédent.

Rappelons d'abord que toutes les solutions 3° sont doublement harmoniques, en vertu du lemme énoncé p. 147 et démontré dans la Note ci-contre, A la vérité, pour les trois derniers éléments linéaires, deux valeurs différentes de l'arbitraire y' ne donnent pas deux formes harmoniques différentes, si aucune d'elles n'est nulle, car on passera de l'une de ces formes à l'autre, en remplaçant x' et y par des variables proportionnelles x"= kx\ y=ky; mais, si l'on se reporte au para-

SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. IqS

graphe 11', on verra que ces deux formes harmoniques se déduisent aussi l'une de l'autre par un changement de variables autre que x"=kx\ y"=zky\ Ce dernier est d'ailleurs inefficace quand l'une des deux valeurs de y' est nulle.

La propriété de l'élément linéaire (r') d'être doublement harmonique est manifestée par la troisième des solutions 3".

Cela posé, je dis que les éléments linéaires provenant du système (II) sont les seuls qui soient doublement harmoniques. En effet, pour qu'un élément linéaire soit tel, il est bien connu qu'il doit acquérir la forme harmonique par un changement de variables où X et Y dépendent au moins d'une constante arbitraire autre qu'un facteur commun de proportionnalité. Or, notre discussion générale nous a fait connaître toutes les expressions possibles de X et Y; c'est seulement dans les systèmes (I) et (II) que ces expressions comportent une constante arbitraire. Un seul cas échappait à cette discussion, ce4ui des éléments linéaires convenant à des surfaces de révolution; mais nous l'avons traité directement, et la solution correspondante (r") coïncide avec l'avant-dernière des solutions 3°.

En résumé, l'élément linéaire (/) n'est jamais doublement harmonique; l'élément (e) est doublement harmonique pour 6'— 2a'=o; l'élément (m) pour m = 3 avec a' -h i'= o, pour m = ^ avec a' = b' et pour m = (S avec a' = b\

Le problème que nous nous étions proposé est entièrement résolu.