L. RAFFY
La troisième r-\-h=-^ donne (AB étant nul) r=- = -g-« Ces
valeurs de r et de A doivent vérifier nos trois équations, qui deviennent respectivement
log -h 2ik=:o, 5/r — 2p = o, 5k -h2p'z=o.
(3r, si Ton fait r= - =z -- dans les expressions générales de i, p, f' et g, on trouve
valeurs qui vérifient les trois relations ci-dessus. Nous avons donc là une nouvelle solution du problème. Dans les formules générales
Tz=z
— (2r-f-2/? — 30(/- — /0(/e^-^— /yîg-^-0(Ae^*^~He-^*M
(4i — 3/- — 3 A) (B/e"--^')'— Ame ^''-/di^ ^ 3(,. __ /j) (A/e('--^^)'— Bme-c-^'^')
\ = le^rx^\ f>ihx^ Y =: me-*''y -+- B e-^^r,
introduisons les valeurs r= -^> f^=\ avec Tune des deux suppo
sitions A = o, B = o.
Pour A = o, nous trouvons
\-me »^
pour B o,
^ Zi le^ — me ^ 3/e» + /ne '
Be »'
Ces deux solutions n'en font qu'une, car elles se ramènent l'une à l'autre par le changement de / en w et de m en /, de A en B et de B en A, pourvu qu'on change aussi x en —y et y en — x^ ce qui ne modifie pas l'élément linéaire des spirales
ds^— e-'^«-r) e/Trf/ dx dy.
l'expression Tj^^/ devenant, par ce changement, identique à l,^dt.
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l8l
La fonction T^ peut s'écrire ainsi
i ^i me * i l^i me *
5 5^ -Ul ""5 5 -i!i
Son intégration est immédiate
/T^^^ ''^^~^^^ 4-log(3/4-me'^);
d'où résulte l'élément linéaire
^5' = Co e-'(-^-r) e' » (3/-+- me *' ^Jdxdy.
Comme le produit Im est différent de zéro, on peut augmenter x -^ y
— Kl
d'une quantité telle que le coefficient de l'exponentielle e * devienne égal à 3/. On pourra donc écrire
ds^—Ce-^^^'-y^e ^ [i -h e ' » )dxdy.
Cet élément linéaire ne convient qu'à des spirales imaginaires.
Nous allons le mettre sous forme harmonique par le changement de variables connu
, , dx dy
La remarque précédente permet, dans les formules actuelles
X = /e'"»-+- Ae''"», Y =: me~*'\
de faire m = 3l= i; d'où
dx'=z — =y dy=ze ^dy,
ce qui donne, tous calculs faits,
rf5»= C j {x'-^y'f+ (a:'-/)»+ 3^ A[(x'+/) + (x'-y')\ j rfar'rf/'.
l82 L. RAFFY.
La constante X^o étant arbitraire, Télément linéaire est doublement harmonique, en vertu du lemme énoncé p. i47-
Soit maintenant AB/m^o. Les sept équations du problème se réduisent aux cinq suivantes :
(i) io[^-Â:(r-hA — 0]B/* -h[A:(5/-h5A-T70 — p(3r -4- 3/1 — 40] Aw*=:o,
(2) io[^-^(r-+-A-0]Am«-i-[A-(5r-+-5A-70-p(3r-h3A-40]B^ =o,
(3) lo^-h ioA-(r -H A — i) =:o,
(5) ioA:(/- + A— 0-Hp(3r-4-3A — 40-t-3p'(r — /i)==:o.
La troisième de ces équations n'est autre que
(3') ,oX:(r-+-A — OH-p'(3r-f-3A — 40 + 3p(r — /0 = o.
Si on la retranche de la cinquième, on trouve, k n'étant pas nul,
(3A — 2ï)(p — p') izio.
Cette équation se décompose en deux : 3A — ai = o et p — p'= o.
Soit d'abord 3A = 2î. On a, par suite, r == - = ^ et r -+- A = «. Les équations (4), (5) et (3') se réduisent à deux
Or, si l'on fait r= gi A = -j dans les formules générales qui définissent p, p', g et A, on trouve
Ces valeurs satisfont aux deux équations ci-dessus et, par suite, aux trois équations (3), (4)» (5). Grâce à elles, les équations (i) et (2) sont vérifiées, les quatre paramètres A, B, /, m restant quelconques. Nous aurons donc encore une solution du problème, en prenant
r = - = «> savoir 2 3
X = /e »H-Ae » Y = me »H-Be ».
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l83
Pour avoir Texpression correspondante de T, reportons-nous à la formule générale
(3r + aA-30(/'~/i)(A»~e.) (4« — 3r — 3A)A-h3(/ -4-^)0 '
et remarquons que, dans le cas présent, elle se réduit à
~ 3 A-0 ' Or on a identiquement
— — (le^' — me-'-') (Ae''^— Be-^'),
il reste donc simplement
m i le *~me * d . ( , *i -^i\
T= g — ^ — ^ ^ - logW^ '-^ 'w^ V.
En augmentant / d*une quantité convenable, on peut ramener à Tégalité les coefficients des deux exponentielles et prendre en conséquence
Ti= ^logcos^, e-TT^' = c cos 5 • Alors l'élément linéaire devient
ds^ =L Ce-^'^'-y^ cos — 5-=- dœ dy ;
il acquiert la forme harmonique par le changement de variables
d.v dy dx'ziz — - > « J — — j^^ ^^ = >
\/ e »-+-Ae » Ve »-HBe '
qui conduit à
ds'-ÇJ \ {xWyy- (^'y)*4. |8(A + B) [(^'4-/)«— (^'-/)*] ! ^x't//.
Il est doublement harmonique, en vertu du lemme énoncé p. 147, parce que A et fi sont arbitraires (sauf AB:^*^ o).
l84 L. RAFFY.
Supposant toujours ABlm^o, discutons la solution p = p'. A ce effet, rapprochons la quatrième équation et la cinquième, après avoir remplacé p' par p :
Comme k ne peut être nul, ces deux équations, linéaires et homogènes en k et p, exigent qu'on ait
Si Ton remplace A par ir, cette équation s'abaisse au premier degré et donne 4^= «•
Pourr=7, A = -j les équations (4), (5) et (3') sont vérifiées,
comme on s'en assure aisément en y substituant les valeurs correspondantes
, ZL i5 ,3/
Après cette substitution, les deux premières se réduisent à une seule
d'où, en introduisant une indéterminée y.
On a donc une solution du problème en prenant
et remplaçant, dans la formule générale,
j -- (2r 4- aA — 30 (r — h) (/g^^~ mg-^Q (Ae^*<-- Be"^^)
~" (4« — 3r — 3A) (B/e('-^'^'— Ame-^'-^^^) 4- 3(r — A) (A/e('*+^>'— B/ng-^'-^'^>0'
les paramètres r, A, A, B par leurs expressions actuelles. On trouve
ainsi, en supprimant le facteur {leT^^me-''^), commun aux deux termes de la fraction,
^ -^ T T— I Z-i\ ^di^< -. -^ 3 ^''^ I
olm
Sans restreindre la généralité, nous pouvons faire l = m = i; d'où la solution
et l'élément linéaire
ds^—Ce-i^^-
y'f { cos * ■• — \- '^\dx dy.
qu'on peut écrire aussi
Sous cette forme, on reconnaît un individu de la famille
tls^ — e-'(^-r) (a sin'" "^"^'^ + (3 cos'" ^JJlZ ) dx dy,
trouvée au Chapitre I (n^4). Effectuons le changement de variables
Nous avons, tous calculs faits,
et, comme y est une constante arbitraire, l'élément linéaire considéré est doublement harmonique. (Lemme de la page 147)
Ann.de VÉc. Normale. 3' Série. Tome XU. — Jcin iSqS. 24
l86 L. RAFFY.
Résumons les résultats obtenus dans le premier cas de la deuxième hypothèse (h = nr).
3 /e • -+- me ^
ds^= c\(a:' ^ yy -^ (œ' — yy ^\' /l[{x' -{- y) A' {x^ - y)]\ dx' dy,
2° A-z^^j /i=:— , AB//n^o;
ile^^ — me '* *':r *'jr 'S- *'*
/e ' H- me '
^j — e-/(*-r) cos ^T'^ dx dvy
T = — —^ -^ -y. , X=/e *-+-y/»e'^ \z=imc *-t-ym«e-'r;
cos '— -h-xjdxdy
ds^=c\ix'-^yn{x'-^yy-^fiyY-(x'-^yy'[{^'-yy^/iyy\dx'dy.
Nous avons laissé figurer dans ce Tableau des paramètres arbitraires dont le nombre peut être (et a été) réduit. C'est afin de pouvoir écarter sans nouveau calcul le cas r=2A, corrélatif du premier. Sachant que les solutions correspondantes se déduisent des solutions ci-dessus par le changement de r en A et de h en r, de / en  et de A
en /, de m en B et de B en /w, on voit immédiatement qu'elles n'en différent que par les notations. Elles ne conduisent donc à aucun élément linéaire nouveau.
11". Second cas. — Nous supposons A = — 2r. Alors l'équation qu'il s'agit de rendre identique devient
I io[^~X(/--hA — 0]AB/- 4-[A(5/H-5/i~30— 3p'(r-/0]B»m«je«'-' -i- j io[^-A(/--h/?-0]ABm»-+-[A-(5r-i-5/i-3/)-3p'(r— A)]A«/* je-''' — iolm[g -h k(r 4- A — 0] B'e*'*'— lolm [g -i-/c{r-hh — 0] A'^-*''' -f. [X'(5/- -f- 5/i — 7O — p(3/- -+- 3A — 40] (B-/'e«'"'-f- A*m»e-«'-0
-h 2 AB/m[ioX:(r -h /i — + P (3r -h 3A — 40 H- 3p'(/- — /i)] = 0.
D'après un raisonnement déjà fait, nous devons égaler à zéro les coefficients de chaque exponentielle et le terme constant. D'où sept équations
io[^ — A-(rH-/i-0]AB/* -f-[A-(5/'-h5A-30-3p'(r— /0]BVn«=o,
io[^— X-(r-h/z-0]AB/n«-h[A-(5r-h5;^ — 30--3p'(/--A)]A'/* =0,
AUm[g-h k{r~hh — i)]=io, [A(5r-+-5A — 7O — p(3r-+-3/i— 40]B*/' =0,
B^lm[g-hk(r-hh-^i)]z=o, [A:(5r-i-5A — 7O — p(3/--+-3/i— 40]A*w*^o,
AB/m[ioA(r-+-A — 0-+-P(3a'4-3A — 40 + 3p'(r — A)] = o,
Il faut distinguer suivant que AB/m est nul ou différent de zéro.
Supposons d'abord ABlm == o et rappelons-nous que, quand un des facteurs de ce produit est nul, les trois autres sont différents de zéro. En faisant /= o ou /w ~ o, on trouve trois équations que nous écrivons dans la colonne de gauche; en faisant A = o ou B = o, on trouve les trois que nous écrivons dans la colonne de droite
jog^ ioA:(/-v- A — ^o> ^og-h 10 k{r -\- h — i)=o,
A-(5/'-h5A — 30 — 3p'(r--/0 =0, ^(5r + 5A — 30 — 3p'(r — A) —o, ^(5r-+-5A— 7O — p(3/'-+-3//— 40=0, it(5r4-5A--70-~p(3/--f-3A — 40 = o,
Ces deux systèmes sont précisément ceux que nous avons discutés dans lo premier cas de la première hypothèse. Pris dans leur ensemble, ils n'ont de solution que quand r -f- A = o, ce qui ne se peut ici ; quand r-\-h = i9 ce qui entraînerait soit r=2A, soit h = 2r; ou quand
l88 L. RAFFY.
r-f-A=-r^> ce qui entraînerait aussi soit r = ih, soit h^=i>.r. La
présente supposition AB/m = o doit donc être écartée.
Soit maintenant AB/w^o. Les sept équations du problème se réduisent aux cinq suivantes :
(i) io[^-Â(/--4-/i — i)]A/* -^[/i(5/--h5/i — 30-3p'(/-/i)]Bm*=o,
(2) io[é'— A-(/'-+-A — 0]Bm*4-[A-(5r-f-5/i — 30 — 3p'(/-— /i)]A/' =z o,
(4) Ar(5/-h5A — 7O — p(3r 4- 3A — 40 = o>
(.5) ioA-(/- -h A — ^- p(3/- -+- 3/e — 40 -+- 3p'(/--- A) = o.
Nous allons montrer que les trois dernières sont incompatibles avec notre hypotbèse /t = — 2r. En effet, la troisième n*est autre que
(3') iok{r -h h — i) -f- 3p(/- — h) 4- p'(3/- 4- 3/i — 40 = o-
Si on la retranche de la cinquième, on trouve
équation qui se décompose en deux. Pour la discuter, calculons par les formules générales les expressions de p, p' et k dans l'hypothèse h = ~ ir\ nous trouvons
p 1= — 3o /•' — 43 ir^ — 9 /• — 4 '»
Cela posé, faisons ç^^r^ ç^'\ nous aurons, en rapprochant les deux formules ci-dessus,
D'autre part, faisons p' = p et A = — 2rdans les équations (4) et (>);
il vient
5Ar(r-H0 — p(3r— 2/) = o.
Comme k ne peut être nul, ces deux équations linéaires et homogènes en A et p entraînent
(5r-h 70(3r — 2O — 5(r -hO(3/*-l- 40 = 0,
OU bien i2r-+- 17e = o, ce qui est contradictoire avec le résultat précédent 4r di « = o. Ainsi p — p' ne peut pas être supposé nul. Soit maintenant 3A — 21 = o. Nous déduisons de là
Avec cette valeur de r, les formules précédentes donnent
Substituant dans l'équation (4), on arrive à cette impossibilité 14 = 9. On ne peut donc pas non plus supposer 3 A — 21 = o.
En résumé, le second cas de la deuxième hypothèse (A = — 2r) ne donne rien. Le cas corrélatif r = — 2/t ne donnera rien non plus, pour des raisons de symétrie déjà exposées plus haut.
12. Troisième hypothèse. — Certains exposants sont nuls. Les huit exposants di r, dz h, dt (r — A), ±:(r-h h) ne donnent lieu qu'à trois suppositions
puisque r — A est essentiellement différent de zéro.
Premier cas. — Nous supposons A = o. Alors l'équation k rendre identique devient
jioAB[^-~A-(r--0]-i-B'[X:(5r--70--p(3r^40]-f-A«[A'(5r--30--3pV]j/»e»'-' lIoAB[^-/t(r--0]-^A«[A•(5r-70--p(3/•--40]-^-B»[^(5/•-30---3pV]|/7l«e-»'•' — io/m(A«-hB»)[^-i-Xr(/- — 0]-+-2AB/m[ioA(r — 0-+-p(3r — 4i)-H3p'/-]=r:o
Avant d'égaler à zéro les coefficients des deux exponentielles et le terme constant, introduisons l'hypothèse h = o dans la formule générale qui donne T; il vient
r(2/---30(B — A)(/g^^— me-^-')
^ [(4«-3/-)B-+-3ArJ/e''— [(4/— 3r)A-h3B/-]/ne-'''
ce qui montre qu'on ne peut supposer ni r=o, ni 2r— 3«=:o, ni
IQO L. RAFFY.
B := A, parce que T serait nul; ni /= o, ni /w = o, ni 3r— 2e*=:o, parce que T serait constant.
Puisque l et m sont différents de zéro, les trois équations du problème seront
(1) ioAB[^-A-(r-0]-+-B*[A-(5r~70--p(3/---40]H-A*[A-(5/--30--3p'r]^o,
(2) ioAB[^-A-(/'-0]-^A«[A:(5r-70-p(3r-40]-+-B«[A:(5r-30~3pV]=ro,
(3) — io(A*-+-B*)[^-4-A-(r-/)]-h2AB[ioA:(r — 0-»-p(3/-— 40-+-3p'/-] — o.
Retranchons la seconde de la première; nous trouvons
L'hypothèse A — B = o étant exclue, nous allons égaler successivement à zéro la somme A -h B et l'expression entre crochets. Auparavant donnons les expressions de p, p', g et k dans le cas actuel h= o:
p=z ar'-h i>'-h gr — 4'> p'=:2r' — 7ï/*' — 3r, k=zr^(2r — 3i).
Faisons maintenant B = — A. Les équations (i) et (2) n'en font plus qu'une; débarrassée du facteur A, qui n'est pas nul, elle s'écrit
(1') — 10^ -h 2ok{r — i) — (3r — 40p — 3p'r = o;
de même l'équation (3) devient
(3') 10^ -h 2oA:(r — «)-h (3r — 40p -l-3p'/-= o.
Ajoutant et retranchant ces deux équations, nous aurons
r — i=zOy 10^-4- (3r — 40p-t^ 3pV=:io.
Mais, d'après la définition de g, nous avons présentement
— !Og-h (3r — 40p'-^ 3pr =1 o.
La comparaison des deux derniers résultats conduit à
et, comme on a vu que 3r — 21 n'est pas nul, il nous reste
Or ces équations sont incompatibles; car, d'après les expressions trouvées pour p et p', il vient
polynôme qui ne s'annule pas pour r= i. Ainsi la supposition A -f- B ~ o doit être écartée.
Faisons enTin la supposition
En remplaçant p, p' et k par leurs valeurs connues, on trouve
En vertu de cette condition, les équations (i) et (2) n'en font qu'une. Nous les remplacerons par celle qu'on obtient en les ajoutant membre à membre
Rappelons l'équation (3)
(3) 2AB[io/:(r-.0-+-p(3r-40-+-3pV]-(A«-4-B«) [10^ -Mo^(/-- 01=10,
et ajoutons-la membre à membre avec la précédente; il vient
-~(A-B)*[io^H-p(3r~40 + 3p'r] = o.
Supprimons le facteur A — B, qui ne peut être nul, et tenons compte de la définition de g
nous trouvons ainsi
ce qui revient à p -h p'= o, puisque 3r — 2e n'est pas nul. En défini tive, nous avons à comparer les deux équations
f{r) = 6ir*-\~ i3r* — 12//* — 4 ^= o-
En substituant les trois racines de la première dans la seconde, on reconnaît que ces deux équations sont incompatibles.
Donc, au premier cas de la troisième hypothèse h = o ne correspond aucune solution. Il est clair qu'il en est de même pour le cas corrélatif r = o.
Second cas. — Nous supposerons r-hA= o. L'équation (2) qu'il s'agit de rendre identique devient
10 B /[A l{g 4- ki) — B m (^ — kl)] e**-' -h îoXm[Bm{g -h ki) — M{g — ki)]e-'^'' -+- (4/p — 7fA-)(B»/^e^'-'-h A«/w«e-*'0 — 3(Â7-h2p'/-)(A»/»4-B«m») — aAB/m(io^£-+-4«> — 6p'/)i=o.
Avant d'égaler à zéro les coefficients des quatre exponentielles et le terme constant, nous calculerons les valeurs actuelles de p, p', de k et de g; on trouve
d'où nous déduisons
ki-\- ip' r=i — 12/'*.
Ecrivons seulement les trois équations qui expriment l'évanouissement des coefficients de c^'^' et de e~'"', ainsi que du terme indépendant. Il viendra
B/ [A/(^4"/t/)-Bm(^-A0]--=o,
Am[A/(^— ki) — Bm(g-\- ki)] == o,
9r*(A»/«-hB»/n*) — AB//n(5A:£-h2«p — 3p'/) — o.
Nous distinguerons suivant que le produit AB//n est nul ou différent de zéro.
Si AB//W = o, l'un des quatre facteurs étant nul, on sait que les trois autres sont différents de zéro; mais alors la dernière équation écrite exige que r soit nul, ce qui ne se peut.
Si AB/m est différent de zéro, les deux premières équations, débarrassées des facteurs B/et A/w, sont linéaires et homogènes par rapport à A/ etB/w, produits qui ne peuvent être nuls. Il faut donc égaler à
zéro leur déterminant, ce qui donne
Comme k n'est pas nul, il reste g^=^ o, c'est-à-dire
3 /'p — 2 io' = — 54 ir'^ =z o,
ce qui est impossible.
Ainsi, que AB//w soit nul ou différent de zéro, l'hypothèse r-\-h = o ne donne aucune solution.
13. Nous voici parvenu au terme de notre discussion. Nous avons reconnu que la première et la troisième hypothèse ne conduisaient à aucun résultat, et nous avons réuni dans un tableau tous ceux auxquels conduit la seconde. Il convient d'en rapprocher tous ceux que nous avions obtenus antérieurement pour présenter à la fois l'ensemble des solutions de notre problème. Nous les reproduisons dans l'ordre oit elles se sont présentées.
1° Premières solutions.
(e) ds--ze-^''^'y^[e^''^y^^''s^—e-^'^y^''''^^]dxdf:z^[e''^'^+y'^ — e^^ ds' - - t'-'C-r) log (y lang tizLZ \ dx dy
ds-^e-'^''-y'> a sin'" ^^-^ — 3 cos'« '^ '^ ^ {ni){ L /« -f- 2 '^ m -+- 2
= [a'{x'-h y Y" — b'{x'-y' y"]dx' dy\
dx dy
2" Eléments linéaires de surfaces de révolution, (/•) ds^^er-'^^-y) cos^^ ^^ "^ ^ dx dy = ( j^'h- y')'" dx' dy'.
Un seul est doublement harmonique :
(/•") ds^ = e-'^^-y^ cos -4~^ dxdy^{x'-^ y' ) dx' dy' ,
Ann, de l'Ec. /Normale. 3* Série. Tome XU. — Jiii.x 1895. 2l>
