MO N
part et d'autre de la nappe et aboutissant en deux points M, et M, infiniment voisins, on a sur ces lignes tracées dans le
fluide libre V2 V? V2 Po+P— Pise + Pan o —
puisqu'elles proviennent du même point de l'infini amont.
La pression étant continue à la traversée de la nappe, on a PARe V: — Vo.
ce qui entraîne
Le tourbillon libre & est perpendiculaire à la différence géométrique des vecteurs égaux (!) V, et V,, donc dirigé suivant leur bissectrice, D'autre part, d'après les propriétés des surfaces de tourbillons de Helmholtz, la composante parallèle
(') En grandeur mais de directions différentes.
à e de la vitesse du tourbillon est égale à la moyenne des composantes correspondantes de V, et V,, donc nulle. La vitesse du tourbillon est donc le vecteur V, projection commune des vecteurs égaux V, et V, sur la bissectrice de l’angle de leurs directions.
Ainsi se trouve démontrée cette propriété caractéristique des lignes de tourbillons libres, qu’elles sont aussi des lignes de courant dans le système de référence lié à l’aile et pour lequel le régime du mouvement est permanent. On a donc
(5) Rite, u p
11 est à remarquer que cette propriété, qui s’appliquerait aux tourbillons liés si la force de liaison # venait à s’annuler, serait alors la conséquence directe de l'hypothèse que la relation (1) est vérifiée dans toute la zone de ces tourbillons. Ici cette propriété est due au fait que cette relation est vérifiée de part et d’autre de la nappe des tourbillons libres et que la pression reste continue à la traversée de celle-ci.
Considérons dans la nappe N une bande ou /anière de tourbillons libres et limitons-la à deux sections droites dw, dw'. L'épaisseur e étant très petite, la valeur du tourbillon est très grande, mais la quantité ee reste finie. La lanière considérée étant un filet de courant, la conservation du flux donne
Ve ds = V'e'ds et celle de la circulation
(6) ce ds = e'e'ds.
On a donc, le long d’une ligne de tourbillon,
(7) . = const. = À.
C'est le théorème de Beltrami. En outre, le long de la même
ligne, “ ne FD et Res ON PT
et au voisinage immédiat dans le fluide libre, ef eee fves 297] PRE LV ER P+P ï »
ou, En comparant,
(8) co Cie
En rapprochant de l'équation (6), on en déduit COTE
Ces relations ne restent vérifiées que si l’épaisseur e de la nappe reste très petite.
Les propriétés précédentes des tourbillons liés et libres ont été déduites par Prandtl d'équations générales obtenues par la conception d’un espace portant formé par la juxtaposition d’une infinité d'ailes élémentaires.
Dans cette analyse, le passage à la limite effectué n’est pas légitimé. Aussi paraît-il préférable de faire appel aux raisonnements précédents qui permettent d'aboutir, d’ailleurs plus simplement, aux mêmes résultats.
12. Détermination du champ des vitesses. — Montrons d’abord que si la distribution des tourbillons liés y et celle des tourbillons libres & sont connues, le problème est résolu.
Comparons, en effet, dans le trièdre de référence X, Y,Z4, le champ des vitesses cherché autour de l’aile solide et de la nappe N à celui communiqué au fluide par les tourbillons de l'aile fluide et ceux de la même nappe N. Dans les deux cas, ce champ dérive d’un potentiel et possède les mêmes valeurs sur une sphère de rayon très grand, sur la surface de la nappe N et, par hypothèse, sur la surface de l’aile. Ce potentiel, dont nous admettrons l’existence comme une consé-
quence des hypothèses de la théorie, est déterminé sans équivoque. Les champs comparés sont, par suite, identiques.
Si l’on désigne par V,, la vitesse communiquée à une par-
ticule quelconque du fluide indéfini par les tourbillons liés de la couche R, de l'aile fluide et par les tourbillons libres de la nappe N, conformément à la loi de Biot et Savart, on voit qu’en rapportant le mouvement au trièdre XYZ lié à S et animé de la vitesse — V, par rapport à X,Y,Z,, la vitesse V de la particule considérée est la résultante des vecteurs V, et V,
V = Vi+ Ve
On aperçoit ainsi le bénéfice de la substitution de l'aile fluide à l'aile solide qui permet, en réalisant la continuité du fluide, de calculer les vitesses en appliquant les lois de l’action des tourbillons dans un fluide indéfini.
Mais il faut reconnaître que la résolution complète du problème, simplifiée sur un point, ne l’est pas dans son ensemble. Elle exige, en effet, la connaissance de la répartition des tourbillons liés y, qui ne sont déterminés que si l’on connaît la distribution des vitesses sur la surface S de l’aile et de la répartition des tourbillons libres que la condition précédente ne détermine qu'à l’origine de la nappe, c'est-à-dire au bord postérieur de l’aile. Il resterait donc à pouvoir déterminer directement ces éléments.en fonction des données : la vitesse V, et la forme de la surface S de l’aile. Ce problème n’est pas encore résolu, mais nous verrons plus loin comment certaines hypothèses simplificatrices permettent déjà d'aboutir à des résultats dignes d'intérêt:
Si l’on désigne par X la surface de tourbillons formée par la couche R, de tourbillons liés et la nappe N de tourbillons libres, par e! l'épaisseur de Z et par do' un élément de cette surface situé au point (x, y', z!), les composantes (u, #, w) de la vitesse d’une particule (x, y, z) dans le système de référence XYZ ont pour expression
Re pete (nr GE) ee, + VEgal(e—e + (y y }+ (2 T
el | HN ENEs
Cyr + eh y; +6, y:+ €) désignant les composantes du tour- , billon y ou & placé au point (x', y', z') de 2. Ces composantes vérifient nécessairement la condition d'intégrabilité des tourbillons de Or On de Dep Dee 0x Ôy 03 CEDODOET DCE
13. Détermination de la portance et de la résistance. — La substitution de l’aile fluide à l’aile solide conservant la distribution des vitesses dans le fluide extérieur conserve aussi celle des pressions sur la surface S de l'aile, et le système des forces k qui fait équilibre à celui des efforts de ces pressions est équivalent à la résultante des actions de l’aile solide sur le fluide,
. Fig. 28.
(CS) Vo TS Y
Les axes X, Y, Z étant dirigés comme l’indique la figure, la résultante K des forces X a pour composantes
KO f for = pys}e de, (10) | PETER RES
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la vitesse (w, », w) au point (æyz) de S étant donnée par les formules (9).
Si les tourbillons liés sont, dans toute la couche R,, parallèles à une même direction, ces expressions se simplifient en tenant compte des égalités
f feafn (IR ”sS #
srl 2) (y— + (as)
(ma )f—(z— 2)!
= a) (2) fe eds] =0,
Aro + (y y (az)
v Le
ou
ie tee Ur 2) T; 1
ONE NME) PRES EP S s Ie 2 TE.
puisque à chaque couple d'éléments e do, e’ do! correspond le même couple avec une valeur opposée de la quantité à intégrer, de sorte que les couples élémentaires correspondants se détruisent deux à deux.
Pour l'aile symétrique et les axes choisis, en désignant par À la portance de l’aile et par W sa résistance, on a K:=0, K;=—W, K;=A.
La force k est perpendiculaire à la vitesse V de la particule sur laquelle elle agit, Dans le système XYZ, la dépense
de travail (% V) par unité de volume du fluide de l’espace portant est donc nulle.
Or, V est la somme géométrique de la vitesse V, et de la
vitesse V,, due aux tourbillons y ete. On peut donc écrire
ou —RVo= AN:
Par rapportau système X, Y,Z, de vitesse relative V,suivant l'axe Y, le terme Vs représenterait le travail dépensé pour vaincre la résistance au mouvement pendant l’unité de temps, par unité de volume du fluide de l’espace portant, et le terme +ÆV,, l'énergie dépensée, rapportée au même volume pendant le mêmetemps, pour entretenir le mouvement tourbillonnaire. Ces deux termes sont nécessairement égaux.
Le travail total, produit de la traînée W par la vitesse V, de l’aile par rapport au trièdre X,Y:Z,, a pour valeur
(12) W Ve f [Leu +h(e—Vo + we ds, S
les composantes de la force Æ et de la vitesse V étant données par les équations (2) et (9).
14. Cas particulier du filet portant. — On appelle filet | portant l'espace portant formé par un filet de tourbillons liés,
Fig. 29.
Ce filet, en forme de /anière, est en tout point orthogonal
aux lignes de courant. ,
La résultante des actions de ce filet sur le fluide ambiant,
pour un tronçon compris entre les sections droites d’abscisses M, et M,, a pour valeur
—ake=e f f e ds d\i[æy, —67;], Re MM,
et comme
ces expressions deviennent
—ake=e [ [ e ds d\(w dn — v dt) À MM, dx
Æ dT (w dn — v dt),
Ces relations peuvent être considérées comme une généralisation de la proposition de Kutta-Joukowski reliant la portance à la circulation pour une aile à profil constant et envergure infinie qu'elles étendent à un filet portant de forme arbitraire.
