II. — Aile d'envergure finie. — Cas du régime permanent

9. Nous avons démontré plus haut que dans ce cas une nappe de tourbillons existe dans le fluide. Cette nappe prend naissance à l’arête postérieure et sur les bords latéraux de l'aile. Le courant est alors à trois dimensions, sauf dans le plan de symétrie de l'aile. Si l’on appelle « problème plan » celui de l'écoulement autour d’une aile d'envergure infinie, on peut appeler « problème spatial » celui qui concerne l’aile d'envergure limitée.

L’intensité tourbillonnaire dans cette nappe est telle que le flux de tourbillons, à travers un circuit fermé quelconque

entourant une seule fois l’aile ou la nappe et traversant celle-ci en un point M du plan de symétrie, soit égal à la circulation autour de l'aile et dans son plan de symétrie.

Fig. 22.

ds

Soit un contour C passant par un point P de la nappe entourant une seule fois l’aile et parallèle à son plan de symétrie. Soit un second contour C’ doué des mêmes propriétés et déduit du premier par une translation infiniment petite. Si l’on désigne par ds le vecteur normal à l'élément

de surface découpé dans la nappe par la translation du contour et égal en grandeur à l'aire de cette section, par w le tourbillon silué dans la nappe au point P, par l'et.T'’ les cir- : culations sur C et C’, le théorème de Stokes appliqué à une surface cylindrique s'appuyant sur C, C’et limitée à ces contours, donne

e désignant l'épaisseur infiniment petite de la nappe au point considéré. C’est l’équation différentielle qui définit le tourbillon au point P. : é

La variation de la circulation, et par suite de la portance, suivant l’envergure étant surtout sensible aux extrémités latérales de l'aile, la nappe tourbillonnaire est surtout intense dans lés régions correspondantes. Aussi, les tourbillons qui s’'échappent des extrémités de l’aile ou tourbillons marginaux (« Lip vortices » de Lanchester) ont-ils une influence prépondérante, L'existence de ces tourbillons entraîne une conséquence importante.

La nappe s'étendant jusqu’à l'infini à l'arrière de l'aile, il en résulte que la vitesse du courant à l'infini n'est pas uniforme, Le théorème de Cissoti, qui établit la nullité de la résistance au mouvement d’un solide immergé dans le cas où cette vitesse est uniforme, ne s'applique donc pas ici.

Les tourbillons marginaux permettent donc d'échapper, pour un fluide sans viscosité et un obstacle sans sillage indéfini, au paradoxe de d’Alembert.

La résistance au mouvement dont ils sont la cause est appelée « résistance induite ».

À cette résistance s’ajoute, dans le cas d’un fluide réel à viscosité très faible, un terme relativement peu important correspondant à l'effet de la viscosité et du frottement au contact de l’aile et du fluide comme nous lavons indiqué pour le cas de l’aile d'envergure infinie où cette:« résistance de profil » existe seule.

10. Aile fluide. — Si l’on se donne une aile dont la forme et la présentation au courant sont déterminées et si l’on fixe

la valeur V, de la vitesse de cette aile dans le fluide primitivement immobile, la distribution des vitesses dans l’écoulement réel est parfaitement déterminée. Normalement, il doit en être de même pour le courant théorique. Admettons dans le cas général ce résultat qui sera démontré plus loin pour le cas particulier du problème plan.

Dans les mêmes conditions, et grâce aux hypothèses de la théorie, il faut regarder la forme et la distribution de la nappe de tourbillons libres N qui accompagne Paile comme déterminées. Supposant ces éléments connus, on pourrait alors passer du champ de ces tourbillons au champ de vitesses correspondant dans le fluide indéfini en tenant compte de la présence de l’obstacle immergé.

Pour éviter les difficultés mathématiques introduites par la présence de l’obstacle solide, Prandtl réalise la continuité du fluide dans tout l’espace en substituant à l'aile solide une « aile fluide ».

Imaginons que l’espace R limité par la surface extérieure S

de l’aile ou « espace portant » soit formé d’une zone intérieure R, de fluide en repos où règne la pression

Hal DER PRE ss

entourée d’une couche R, de fluide d'épaisseur e très faible animée d’un mouvement tourbillonnaire tel que la relation de Bernoulli

(1) PHP EE Po +0 ——

y soit vérifiée et que le mouvement du fluide ambiant soit le même que dans l’écoulement autour de l’aile solide.

Les tourbillons de la couche R, sont astreints à un mouvement déterminé par celui de la surface S. D'autre part, le régime étant permanent, on peut dire qu’ils sont « liés » à cette surface et cette liaison exige l'application d’une force en général non conservative.

Soient Xz, k,, k; les composantes de cette force rapportée à l’unité de volume du fluide, les équations de l’'Hydrody- UC donnent, en désignant par y,, y,, yz les Spas santes du « tourbillon lié » de la couche R,

d Er æ?

Le :

. À = ke eCrs0 — 7), GS

En tenant compte de l'hypothèse exprimée par la relation (1) ces équations deviennent

(2) ke = p(y;® — 20), .….

et expriment que la force Æ est égale au produit vectoriel des

vecteurs y et V multiplié par la densité p du fluide. Cette relation remarquable subsiste quelle que soit la valeur de l'épaisseur e très faible de la couche R..

Soit Vs(us, Ps, ws) la vitesse du fluide du courant extérieur en un point de la surface S. Soient, en outre, &, B, y les cosinus directeurs de la normale intéricure à S en ce point. Nous pouvons décomposer la surface S en éléments assez petits pour que l’on puisse les considérer comme plans et la vitesse Vs comme constante dans toute leur étendue. Nous pouvons er outre choisir l'épaisseur e de la couche de passage de façon qu’elle soit très petite, même vis-à-vis de ces éléments, Ce mode de raisonnement emprunté à Henri Poincaré montre que le tourbillon lié qui assure le passage de la vitesse o à la vitesse Vs à travers la couche d’épaisseur e, où l’on peut supposer la répartition du tourbillon nniformie. a pour composantes

(3) 20 Yx = (YPs— Bws), Con

Ces expressions montrent que cè tourbillon a ‘une valeur très grande, qu'il est situé dans le plan tangent à S et normal à la vitesse (us, Ps, ws). En outre, sa vitesse propre est la moyenne des vitesses de deux points infiniment voisins de part et d’autre de la couche Re. On peut par suite substi-

tuer aux équations (2) la relation simple

(4) k= SP VsT:

les trois vecteurs y, Vs et Æ formant les trois côtés d’un trièdre trirectangle direct.

Les forces Æ ne dépendant pas d’une fonction de forces, les tourbillons y ou « tourbillons liés » n’obéissent pas aux lois de Helmholiz sur le mouvement des tourbillons soumis à des forces conservatives. Le terme qui les désigne correspond bien à l'opposition qu’ils présentent par rapport à ces tourbillons ou « tourbillons libres ».

On peut noter, à propos de l’équation (4), que la force k est représentée, à un facteur constant près, par le même vecteur que l’action électrodynamique que subirait un élément de courant d’une nappe dont la distribution de courant serait identique à celle des tourbillons liés y dans un champ magnétique identique au champ des vitesses Vs.

Enfin, il faut remarquer que, la conception de l’aile fluide ne constituant qu’une fiction destinée à remplacer l'aile solide en réalisant la continuité du fluide, il est permis d'imaginer dans cette masse fluide (R) des variations très rapides de pression ou de vitesse.

11. Mouvement des tourbillons libres. — La nappe de tourbillons libres N, d'épaisseur infiniment petite dans le fluide parfait, est la limite de la couche fluide formée par la réunion, à l’arrière de l’aile, des couches qui ont été au voisinage immédiat des faces de celle-ci dans un fluide visqueux lorsque la viscosité devient infiniment petite.

4o PREMIÈRE PARTIE.

Un filet de courant de cette nappe est donc le prolongement d’un filet de courant qui, provenant de l'infini amont, a suivi le contour d’une face de l'aile et y a subi une influence cumulative de l’action de contact. Cette influence qui com-. munique une intensité de tourbillon non nulle aux particules du filet altère en même temps la valeur du paramètre de Bernoulli qui les caractérise. Ce paramètre reprend une valeur constante dès que la particule considérée quitte l’aile puisque dans la nappe N cette particule ne se trouve soumise à aucune force extérieure.

En prenant deux lignes de courant L, et L, tracées de