IV. — Simplifications possibles de la théorie

15. La détermination du champ des vitesses se trouve ramenée, comme on l’a vu plus haut, à celle du champ des

tourbillons liés et libres et ce problème n’est pas encore susceptible d’une solution directe.

Provisoirement, on peut en présenter des solutions indirectès et approximatives "basées sur des hypothèses relatives à la répartition des tourbillons dans les champs en question. L: vérification expérimentale des formules auxquelles conduisent ces hypothèses fournit le critérium permettant de juger de leur valeur et de délimiter leur domaine de validité.

L'un des procédés d’approximation de ce genre est constitué par la théorie linéaire.

Supposons que l'on envisage un problème d'écoulement autour d’un espace portant donnant lieu à des forces très petites. Dans l'évaluation des grandeurs correspondant à ce problème, on obtient une approximation du premier ordre si l’on ne conserve pour toutes les grandeurs envisagées que le terme de l’ordre le moins élevé. Cette méthode conduit à une relation linéaire entre les forces # et Les vitesses supplémentaires V,, dues aux champs de tourbillons. La forme linéaire de la relation obtenue permet l’usage fécond du procédé de la « superposition ».

La théorie linéaire ainsi édifiée peut être perfectionnée en la combinant avec le procédé des approximations successives. Cependant, à elle seule, elle suffit dans un grand nombre de cas où elle conduit à des formules dont la vérification expérimentale est très satisfaisante.

L'une des hypothèses qui sont à la base de cette théorie simplifiée est la suivante :

Les vitesses supplémentaires V,, dues aux champs de tourbillons sont partout petites par rapport à la vitesse générale V, du courant. En conséquence, on négligera toujours d. à côté de Vs.

De plus, les lignes de tourbillons libres qui coïncident avec les lignes de courant se transforment, par suite de l’hypothèse précédente, en lignes droites qui s'étendent jusqu’à l’infini en aval de l'aile.

L'erreur introduite par cette approximation dans le calcul de la valeur de V,, en un point de l’espace portant est de

l’ordre du rapport 7: donc faible.

16. On peut aller plus loin dans la voie de la simplification

et, pour un certain nombre de problèmes, on peut négliger | la forme exacte de la répartition des tourbillons y dans l’es- / pace portant. C’est ainsi qu’au lieu de la couche de ces tourbillons que nous avons définie aû paragraphe 10, on peu/ regarder chaque aile comme équivalente quant à son eflét - dans le fluide à un filet unique de tourbillons y, lieu des centres de gravité des distributions de tourbillons relatives à chaque section de l’aile, filet dont l’intensité tourbillonnaire en chaque point est égale à la circulation totale autour de l’aile dans la section passant en ce point. La validité de cetle hypothèse provient de l’allongement, généralement con- .Sidérable, des ailes d'avions suivant leur envergure. Le plus soüvent, il n’y a pas lieu de se préoccuper des dimensions transversales de ce filet portant. On le supposera alors réduit à une ligne de tourbillons.

17. Cas du « monoplan droit ».— On appellera « monoplan droit » l'aile que les hypothèses précédentes permettent de figurer schématiquement par un filet de tourbillons rectiligne, isolé, de longueur finie.

Déterminons la portance el la résistance de cette surface.

Supposons les axes orientés comme l'indique la figure, — V, désignant toujours la vitesse avec laquelle il faudrait déplacer l’aile dans l'air primitivement immobile pour que le mouvement de celui-ci par rapport au système de référence adopté et lié à l’aile soit celui que nous supposons. La vitesse V, est aussi ce que l’on peut appeler la « vitesse d'ensemble » du fluide non troublé, celle qu’aurait par rapport au système considéré le fluide si l'influence de l'aile ne s’y était pas fait sentir. La surface de tourbillons libres qui accompagne l'aile schématisée par un filet de tourbillons ab, d'intensité l'au point d’abscisse æ, est située dans le plan des XY et formée de tourbillons parallèles.

Les composantes de la vitesse V, en un point (x, o) de la ligne portante ab ont pour valeur :

MA 1) Ter sr ; De Ce = [ S ARE 17 L'=a re [(æ—æ'}+ 27 b / ? ; EF (13) LI 0) = 0, 2 © è co .

7 4r à: dx tx

Pour æ'= x, la fonction intégrée passe par l'infini, L’intégrale qui figure dans l’équation (13) doit être définie comme

Xl— € ñ b :

G3a) lim Cf PIE CRÉES CE RC eo Ne dx æ— x CR OR ETES PRE

La portance À, ou composante K; suivant Z de la résultante K, a pour valeur, d’après les équations du paragraphe 14,

Gr) ee T dx,

et la résistance W, ou composante K, de K suivant y,

b b b ' à PR adT dx dx

Ces formules ne sont valables, puisqu'elles représentent une approximation du premier ordre, que si w est effective-