ANNEXE

SUR LA DÉTERMINATION DU POTENTIEL POLYTROPE RELATIF A UN CONTOUR K ET DE LA CIRCULATION Î CORRESPONDANT A UNE VITESSE A L'INFINI Vo DONNÉE.

Nous démontrons dans ce qui suit :

I. Que la détermination du potentiel polytrope est unique si l’on se donne F'et V,.

II. Que F est déterminée, si l'on connaît V,, pour des profils tels que ceux des ailes d'avions et moyennant une condition supplémentaire imposée au courant par la forme du profil.

I. — Détermination du potentiel polytrope autour d'un profil.

1. Envisageons le problème plan d'hydrodynamique posé par le déplacement d’une aile à profil constant et envergure infinie dans un fluide parfait et incompressible.

Dans le régime de mouvement qui est permanent par rapport au profil K considéré, nous admettons que le mouvement étudié est régi par un potentiel des vitesses o(r,0) que nous rapporterons aux axes par rapport auxquels le fluide à l'infini est immobile. Ce potentiel est polytrope et doué d’une circulation F le long d’un contour quelconque tracé dans le fluide et entourant une seule fois le profil K.

Pour expliquer à partir du potentiel initial uniforme (lorsque tout est au repos) la formation de ce potentiel polytrope, il faut admettre qu’il se forme une nappe N de tourbillons à l'arrière du profil K, nappe qui s’évanouit lorsque le régime permanent s'établit, après un intervalle de temps infini. Considérons à un instant 4, postérieur au début t, de la mise en mouvement du profil K dans le fluide, le Lien énergétique ( fig. 33).

Le travail dépensé pendant le temps fini #4, — 14 pour donner une vitesse finie V au profil K est fini, donc aussi l'énergie cinétique de l’ aile et celle communiquée au fluide indéfini, donc aussi celle-ci toute seule (fig. 34).

Négligeons l’énergie cinétique: de la couche fluide infiniment mince formant la nappe de tourbillons N. Soit o' le

Fig. 33.

potentiel dont dépend à cet instant le-mouvement de tout le reste du fluide. L'énergie cinétique du fluide peut s’exprimer dans ces conditions :

de AA EDEN Gun [Ge or) er

la somme double étant étendue à tout le plan À en dehors du contour K et de la ligne N.

Cette intégrale étant finie, il en résulte qu’à l'infini (!) dv" ae GE CNRS PE HOME

en pu —— 3 Er E rit 00 Je pour. 7° — 0.

Ce résultat est constamment vrai. Lorsque le régime permanent s'établit après un temps infini, les tourbillons de N se sont évanouis et il règne un potentiel œ(r, 0) dans tout Île

(*) Le symbole signifie : équivalent à; f. f. signifie : fonct. finie.

plan. L'intégrale W peut alors tendre vers une valeur infinie, bien que le travail dépensé par unité de temps pour maintenir à une vitesse V, finie le contour K aille en décroissant et tende vers zéro lorsque le temps augmente indéfiniment puisque la traînée est nulle en régime permanent,

Les exposants 77° et n' des dérivés de ©’, constamment positifs, ne peuvent avoir qu’une limite positive ou nulle (1) :

Que a (N0) do B(0) (Wr pet ro, dr a rien? 00 ra | pour r

1° n ne saurait être positif. En effet, la circulation du potentiel © le long d’un cercle de rayon r infini est finie et

égale à F, d’où TT DEut LÉO nas,

ce qui exige z — 0. Il en résulte que l’ énergie cinétique du fluide est nécessairement infinie pour un courant plan à circulation non nulle en régime permanent.

2° m ne saurait être nul. En effet, si m était nul, la

; SR TE : 0) fonction &(0)se réduirait à une constante, sinon ne pour-

rait être équivalent à une simple fonction de 8 lorsque r — et cette constante à serait nulle car, en vertu de l’incompressibilité du fluide, le flux du courant à travers un cercle de rayon r est nul et pour un rayon 7 — 0 :

2T 2T do ar 9 —10 je PA = — M.= pair.

0 vo P

dœ æ(0) d® É DR SR a Et)

Cherchons quelle est la fonction équivalente à l'infini au potentiel ®. L’équation de Laplace en coordonnées polaires est d2v I d9 1 dv