Détermination unique de la solution: — Nous nous

contenterons ici de montrer que si la solution existe, elle

est unique. -

Soient, en effet, pour un contour K quelconque deux fonctions o, et w, que nous supposerons solutions du problème considéré. Désignons par Ÿ la différence

Pi Da — 0.

Appliquons à cette fonction la formule de Riemann pour l'espace Ë compris entre le contour K et un cercle C de

rayon 7 très grand : .

d\? /ob\? dy L / AL Rue pren ASC ONERES dy + f + SF ASE—0

La fonction V est harmonique à l’extérieur du contour K, sa dérivée normale est nulle sur le contour et équivalente

ME ; Ù à AU 7 1) sur le cercle C lorsque 7 —%. De plus, sur ce cercle, la fonction L reste finie.

On a donc

AU = PRESS Se ff AŸ do = 0, [4 US où

dy (a 5 fra (Tr — ©),

et, si l’on fait tendre r vers l'infini, l'aire Y devient l'aire indéfinie extérieure au contour K, où l’on a

JÉTGE) + Ta = 0

Il en résulte qu'en tout point du plan extérieur au contour K,

La fonction Ÿ se réduit donc à une constante et P1 = P2+ Const,

Si la fonction +, solution du problème proposé, existe,

cette solution est donc bien unique (déterminée à une constante près).