II. — Calcul de la portance d’un profil

5. On a démontré que, dans un courant à potentiel polytrope de circulation F et vitesse uniforme V, à l'infini, la portance d’un profil (force portante d'une aile d'envergure infinie et profil constant par unité de longueur suivant lenvergure) a pour valeur

M o VoT.

Dans le cas où le profil considéré serait un cercle, le problème du calcul de Y serait indéterminé, car la valeur de la circulation F, lorsqu'on se donne V,, est arbitraire.

Nous allons montrer que dans le cas des profils d’ailes cette indétermination peut être levée.

Auparavant, il est utile de rappeler les propriétés des représentations conformes utilisées pour déduire l’un de lPautre les courants irrotationnels autour de deux profils donnés.

6. Détermination de la représentation conforme d’aires extérieures à des contours donnés. — Rappelons d’abord un théorème dû à Riemann, d’après lequel: « Il est possible de déterminer une fonction analytique Z'— g(z2'), qui fait correspondre point par point l'aire intérieure à un cercle C' du plan z', à l’aire intérieure à un contour K’ du plan 7. Les points des contours K’ et C’ se correspondent de façon univoque si le contour simple K’ formé d’un ou plusieurs arcs analytiques ne comprend qu’un nombre fini de points

anguleux. »

Enfin, cette fonction g(z') dépend de trois constantes arbitraires qui permettent de faire correspondre, d’une part, le centre du cercle C/ à un point déterminé de l’aire intérieure au contour K’, et, d'autre part, un point délerminé du cercle C! à un point déterminé du contour K’. »

En utilisant la transformation d’inversion, également conforme, et l’appliquant aux plans Z' et z' par rapport à des

cercles contenus, l’un dans le contour K' et l’autre dans le cercle C’, on déduit immédiatement du théorème de Riemann précédent que :

« Il est possible de déterminer une fonction analytique = £ (2), qui fait correspondre point par point l'aire du plan Z extérieure à un contour K, contour compris, à l'aire du plan z, extérieure à un cercle C, le contour de ce cercle compris. Cette fonction est complètement déterminée si l’on fait correspondre un point déterminé de K à un point déterminé de C et les points à l'infini entre eux par la

condition Z = X3, à l'infini,

À étant un paramètre déterminé par lè choix des points arbitrairement fixés de C et K que l’on astreint à se correspondre. »

7. Application aux profils d'ailes. — Nous supposons que les profils, analogues à ceux utilisés aujourd’hui pour les avions, présentent sur tout le contour une courbure continue, sauf au bord arrière formant une arête vive.

Soit un cercle C dans le plan de la variable Z—x+iy et un courant de vitesse à l'infini #, et circulation F. Soit, d'autre part, un profil d’aile K dans le plan de la variable Z.

Soit Z—g(:) la fonction analytique qui définit la représentation conforme faisant correspondre le cercle C au profil K, le point E de K au point arbitraire P de C et les points à l'infini des deux plans entre eux par la relation

Z = Àz, à l'infini, Le théorème énoncé plus haut montre que cette transforma-

tion est unique. Elle fait correspondre au courant du plan z un courant de circulation F et vitesse à l'infini V, telle que

V = Por) 0 Se et ce courant représente la seule forme possible d’écoule-

ment irrotationnel du fluide caractérisé par T et V, autour du profil K,.

En fixant le point P de C auquel correspond le point E de K, on détermine la quantité imaginaire À. En choisissant

un autre point P’, la nouvelle transformation cherchée réalisant la correspondance des points à l’infini et des points P’

es L:] Fig. 36.

et E se compose évidemment d’une rotation du plan z de

l'angle FOP autour du centre O du cercle C suivie de Ja première transformation, car la transformation ainsi définie est une représentation conforme satisfaisant aux conditions du problème et celui-e1 n'admet qu’une solution.

Le choix du point arbitraire P de C définit donc 1

écart

qui existe entre les directions à l’infini des deux plans, soit entre #, el V, par exemple.

Soient donc A le point particulier choisi sur le cercle P et #, la vitesse à l'infini dans le plan z..

Le courant autour de C dans le plan z se compose :

1° Du courant irrotationnel sans circulation et de vitesse à l'infini v,; 2° Du courant de circulation T autour du cercle C.

Au premier, la transformation choisie fait correspondre un courant sans circulation au tour de K dans lequel le point A de vitesse nulle sur C correspond à un point & de K voisin de E. L’arête vive E est donc contournée par le courant et la vitesse du fluide est, par suite, infinie en ce point.

Fig. 38.

Au deuxième, la même transformation fait correspondre un courant de même circulation L' autour de K, également avec une vitesse infinie en E.

Le courant résultant dans le plan x est caractérisé par une vitesse nulle en a et b', son transformé dans le plan Z par une vitesse nulle en æ' et G' correspondant à a’ et b'. Tant que æ' n’est pas confondu avec E, l’arête vive reste con-

tournée par le courant résultant, ce qui entraîne l'existence

-d’une vitesse infinie dans le fluide. On ne saurait admettre ce résultat.

La forme du profil K conduit donc à considérer le point E comme correspondant à un point de vitesse nulle sur C et, par suite, le point À à présenter ce caractère. Cette condition détermine, sans ambiguïté, la valeur de F.

8. Application aux profils Joukowski. — Les profils Joukowski dérivent du cercle par une transformation simple. Leur forme rappelle celle des sections des ailes d'oiseau. .

Soit un cercle C du plan 3 passant par le point A(b) et de centre M[—eb+if(i+e)]. La représentation conforme définie par

te b?

Z= - (Ce = =) 2 Z

transforme ce cercle en un profil Joukowski K dans le planZ. Ce contour enveloppe l’arc de cercle AA’ auquel ses deux

bords sont tangents en À. Cet arc passant par le point À, son symétrique À’ par rapport à l’origine et l'intersection N du rayon AM avec l'axe des y, est appelé le squelette du profil K.

Si A(z) définit le courant autour de CO, la fonction

définit le courant autour du profil K. Dans ce courant la vitesse a pour expression

dH dh dz dZ ” dz dZ

À l'infini, en particulier, Vi 652 = 26).

La circulation F correspondant à V, est déterminée par la condition que le point A soit un point de vitesse nulle sur

le cercle C pour la vitesse à l'infini »,, ce qui conduit à la relation facile à établir :

= 4nv(1+e) Vor+ 2 sin (E + are tang À.) ,

où $ désigne l'angle de la vitesse », avec la corde AA! de longueur 2b et flèche f, et & le paramètre définissant l’épaisseur de l'aile.

Il est à remarquer que dans le courant transformé, au point E, la vitesse a pour expression

dH \ =(T I ; (= dz ts =)

et prend la forme indéterminée o X «. Cette indétermination se lève aisément et la valeur effective de la vitesse est (m + ni), où m et n sont finis. L

Pour un profil d’aile quelconque le point E est un point anguleux sur le contour. La vitesse du courant transformé doit y garder une valeur finie et la représentation conforme qui fait dériver le profil considéré d’un cercle doit respecter cette condition.

1. Considérons une aile et un trièdre de référence disposés comme l'indique la figure 4o.

La théorie de l'aile portante substitue à cette aile un filet de tourbillons liés AB dont le flux tourbillonnaire dans la section d’abscisse æ a même valeur que la circulation (x) qui animerait le fluide autour de l'aile dans la même section. La portance unitaire en ce point a pour valeur

(1) eo Vr(æ) où V représente la vitesse de translation de l’aile dans le fluide primitivement immobile. \

A l'arrière de cette aile ou de ce filet portant se détachent des filets rectilignes de tourbillons libres, parallèles à la vitesse V, formant une nappe plane où l'intensité tourbillonnaire pour l’abscisse æ a pour valeur

(2) er) =

La vitesse, par rapport aux axes liés à l’aile, d’une particule fluide en contact avec l'aile schématisée par le filet portant, c'est-à-dire par un segment de l’axe des æ, a pour

composantes

(3) w(x) = 4x È dx’ FETES

(4) A=evf Tax.

La résistance W ou composante suivant V de la réaction otale de l’air sur l'aile a pour valeur

b b b 1 = re 7) X dr dr" Go Neo f'rode E f° f'rie dE dd

Les hypothèses simplificatrices ci-dessus forment la première étape de la théorie dite « Théorie Linéaire »., Cette dénomination est tirée du fait que la simplification faite en considérant la vitesse supplémentaire de composantes (u, , æ) comme négligeable, par rapport à la vitesse générale V, conduit à une relation linéaire entre les réactions de l'air sur un élément d'aile et la vitesse supplémentaire au même endroit.