II. — Monoplan

2. Premier problème. — On donne la distribution T'(x) de la circulation le long de l’envergure, la densité p et la

Fig. 4o A id ro tg v > —+|t Y ZŸ

YY vitesse V de l'aile, déterminer la forme de l'aile et la résis-

(*) Cf. PrANorz, Tragflägeltheorie, I. Mitteilung, p. 470 et suiv.

tance correspondantes. Ce problème peut être résolu à l’aide des équations de la théorie car le calcul de la composante de la vitesse et de la résistance W se ramène aux quadratures (3) et (5).

La connaissance de w permet la détermination ultérieure de la forme de l'aile.

En supposant connu le profil de l'aile, et par suite ses propriétés aérodynamiques, on peut calculer l'angle d'attaque correspondant à une profondeur d’aile donnée et inversement.

Les hypothèses simplificatrices de la théorie conduisent à admettre avec une approximation suffisante, au moins pour les ailes assez allongées, qu’un élément d'une aile d’envergure finie, orienté sous l'angle d'attaque & et tel qu’au point de l’envergure où il est situé la vitesse verticale de descente de l'air soit w supporte la même portance qu’un élément identique d’une aile d'envergure infinie immergé dans le même courant sous un angle d’attaque à! (paramètre géométrique arbitraire que nous définirons par l’inclinaison de la corde du profil sur la vitesse de celui-ci dans l’air primilivement immobile). Ces angles de même efficacité ou « isoportants » sont liés par la relation

(6) Cie arc tang ÿ>

# étant connu, on voit que la connaissance de « (x) entraîne celle de &’(æ) et inversement.

D'autre part, en désignant par £ la profondeur de l’aile, on peut, avec la même approximation, exprimer la circulation F par la relation

(7) T = Vif(a),

et la fonction f(x) se réduit pratiquement à la forme linéaire

(8) f(a)= a+ ce.

Kutta a donné, pour la plaque incurvée en arc de cercle, Ja formule suivante où B désigne l’angle au centre de l’arc circulaire

T (9) fa) = ma + T8.

D’après Mises, pour les profils usuels, la valeur du coefficient c; serait sensiblement égale à 7.

3. Deuxième problème.— On se donne la forme de l’aile, Déterminer la distribution correspondante de la portance et la valeur de la résistance.

Ce problème, inverse du précédent, est plus difficile à traiter au point de vue mathématique, car il conduit à une équation intégrale.

Pour obtenir cette équation, il nous suffira dans le système ; G

1 dE dx!

(UE —— , 4T dr m7 [14 ; æœ = +arc tans

T = Vé(cix + C2) de faire l’approximation s æ L4 (10) arc dE DA et d'éliminer entre ces trois équations les quantités æ et æ/. Il vient :

I fe ALT ae (En ERNV), dix :cNta) ca eh

équation cherchée où c;, €, et les fonctions £ (x), æ(æ)sont les données du problème et l'(x) l’inconnue. La résistance W se calcule ensuite par la quadrature

b (5) W=ef T'w dx.

On se contente, en général, de chercher des solutions approchées de ces problèmes dont les exemples suivants donnent une idée.

Exemple I. — On suppose que pour l’aile d'envergure infinie la circulation varie le long de l’envergure suivant une loi périodique. Déterminer la forme de l'aile et sa résistance.

Développons la circulation en série de Fourieret ne con=

servons que le premier terme (12) P =Tcospæ.

L’équation (3) donne pour la vitesse w

RL 27 tenus, (13) (a) PRE de,

ou, en posant p(æ'— x) —u,

4ATw

La première de ces deux intégrales est nulle, la seconde égale à x, de sorte que

| ie ÿ (15) oi cour = . ë

En prenant pour origine des angles d'attaque «’ l’incidence de portance nulle, l'expression (7) de la portance devient (16) P=Mreja

L’angle d'attaque isoportant æ' pour un élément d’une aile d’envergure infinie et de profil constant est lié à

l’angle &« de l’élément de même profil de l'aile étudiée par la

relation £ NÉS 1 ; € (17) ae =p(E+É)=u (rue).

En introduisant la longueur d'onde À — | é a Cl Lis) NES ET

et en admettant, d’après Mises, que le coefficient c, soit sen-

siblement égal à x, on obtient la formule approchée

œ A (19) TIRER

Pour une envergure / comprenant un nombre entier de

demi-périodes, la valeur de la résistance est