SL #E

Le courant étudié dans le plan de profil peut être transformé en un courant à régime permanent en communiquant au fluide et à la nappe cylindrique une vitesse égale et opposée 2%, à celle de cet obstacle rigide qui se trouve ainsi ramené au repos. À l'infini, le fluide se trouve animé de cette vitesse 2w, dans la direction de la portance. Dans ce cas, si la configuration géométrique du système portant est à connexion multiple, les lignes telles que L dans le plan de profil isolent des régions où le fluide est au repos comme les parois solides qui le contiennent, Dans ces régions, le potentiel a une valeur constante indéterminée, cette indétermination subsiste, quant à la variation du potentiel, à la traversée des lignes limitant ces régions d’eau morte.

La constante indéterminée que lon peut ajouter à la valeur de cette variation du potentiel correspond à l’action d’une portance supplémentaire constante sur les lignes portantes entourant la région considérée, c’est-à-dire à l’addition d’une circulation supplémentaire constante autour de ces mêmes lignes. Elle ne donne lieu à aucune variation de la résistance induite, parce que le mouvement supplémentaire correspondant du fluide ne donne naissance à aucun tourbillon libre (circulation constante sur un circuit fermé).

” On peut donc ajouter une force normale constante sur tous les éléments d’un système portant en anneau fermé sans provoquer de variation de la portance (puisque la résultante est nulle, cette force normale étant au second ordre près partout contenue dans le plan de profil du système) ni de sa résistance.

Soit ® le potentiel du mouvement permanent dans le plan normal à la nappe cylindrique envisagée, appelons potentiel

réduit la quantité — — 9. Cette quantité a les dimensions

d’une longueur et l'intégrale f [9] dx celles d'une surface.

On peut écrire pour le système de moindre résistance

A=poV.2F, SAER SL PE EVE

\ La résistance induite totale a pour valeur

C2 v 0 V[o] ds — œ fe VTe] ds cose — REA

ce qui, en tenant compte de (59), peut s'écrire

(61) MÉRmE un

{ conduit, pour les coefficients sans dimensions €, — À ce qui con uit, pour es coeificients sans imensions Ci—= qF ÉLaC = se à la relation

w; qgE cè2F

(62) Ce re

13. Production instantanée du champ des vitesses dans les plans de profil. — À une assez grande distance en arrière de l'aile, le champ des vitesses dans un plan de profil est à peu près indépendant de la position de ce plan de profil et tend, à une distance croissante du système, vers des valeurs doubles des valeurs correspondantes dans le plan du système, Il tend par suite à coïncider avec le champ des vitesses dans un plan normal aux génératrices de la nappe cylindrique envisagée précédemment,

Les particules situées en aval du système ne tendent à acquérir ces vitesses qu'avec un certain décalage dans le temps dû au fait qu’elles subissent successivement la même influence de la part du système à mesure que celui-ci se déplace sur sa trajectoire.

On peut imaginer que l’on communique instantanément à toutes les particules situées à l'aval du système les vitesses qu’elles tendent ainsi à acquérir. Il suffit pour cela d'exercer une percussion convenable sur la nappe cylindrique considérée comme une surface matérielle. Si le système portant

est un système de moindre résistance, la percussion fait varier instantanément la vitesse de chaque point de cette surface de zéro à la valeur uniforme w#, suivant l’axe des Z. La nappe cylindrique fonctionne donc comme une surface matérielle indéformable.

Si le système portant n’était pas de moindre résistance, la Percussion exercée sur la surface de la nappe cylindrique serait accompagnée d'une déformation de cette surface.

La fiction de cette percussion permet de retrouver les formules établies pour le système de moindre résistance et de donner une interprétation physique de la surface F’. |

Soient p la dépression par rapport à la pression à l'infini po exercée par le fluide en un point du cylindre rigide, ® la valeur du potentiel (primitivement constant dans tout l’espace) au même point à l'instant final de la percussion, o—+ la durée de la percussion. En vertu d’un théorème connu de

l’'Hydrodynamique, TT de pr pP.

La différence des impulsions des réactions exercées par le fluide, par unité de surface, sur les deux faces du cylindre

T J r&=ertt] +

est équivalente, quant à l’effet produit (création du champ de vitesses), l'impulsion de la réaction N du fluide normalement à l’aile correspondante par unité de largeur suivant l’envergure pendant le temps où cette aile parcourt l'unité de longueur dans sa direction de vol ou, en d’autres termes, à l'impulsion des réactions de l’air sur l’aile correspondante par unité de surface de celle-ci pendant le temps de contact de cette unité d’aire avec les particules fluides qu’elle touche, c’est-à-dire à la quantité

Ces impulsions sont donc égales ou

(63) N=pVI].

Ceci montre que N est donné par la loi de Joukowski ! appliquée à l'élément d’aile localisé au point considéré, ce que l’on avait admis a priori pour arriver à l'équation (57)-

Si l’on désigne par w,—24, la vitesse en fin de percussion du cylindre rigide, on peut écrire, d’après les équa-

tions (59) et (61),

(64) A = pFVw:, (65) WV=Awo=eF VI.

Regardant alors F’ comme une aire du plan du système portant que l’on pêut appeler « section transversale équivalente du système », la quantité pF'V représente la masse fluide qui traverse cette aire par unité de temps, et la portance et la résistance du système se trouvent avoir les mêmes valeurs que si l'influence de cette aire F' était tellé que son passage communiquât, à toutes les particules qui la traversent, une vitesse de descente w, sans modifier la vitesse des particules qui passent en dehors de l'aire F’.

14. Comparaison de différentes Jormes de systèmes portants. — Dans ce qui précède, nous avons étudié les Systèmes portants de moindre résistance à configuration géométrique et portance totale données. Nous allons maintenant chercher comment varie cette résistance minima lorsque l’on modifie la configuration du système.

La suppression d'éléments d’un système portant de moindre résistance, effectuée en maintenant invariable la portance totale de celui-ci, a pour effet d'augmenter en général la résistance induite totale de ce système. En effet, la suppression d'éléments du système correspond à une distribution de la portance dans le système primitif attribuant une portance nulle aux éléments supprimés. Cette distribution diffère de la distribution initiale Correspondant à la résistance minima et ne possède pas par suite le même caractère. La résistance induite qu’elle entraîne est donc supérieure à la, résistance minima et la modification apportée augmente bien la résistance induite du système primitif.

Il n'y a d'exception à cette règle que si la distribution de la portance correspondant à la résistance minima pour le

système primitif attribue effectivement une portance nulle aux éléments supprimés.

On démontrerait de la même manière que, partant d’un système de moindre résistance et maintenant invariabie sa portance totale, l’adjonction de nouveaux éléments portants diminue la résistance induite totale du système.

Partant d'un système portant en anneau fermé de moindre résistance, pour une valeur donnée de la portance totale, on peut lui ajouter sur un circuit fermé empruntant une partie de sa périphérie et traversant l’aire qu’il limite, une portance unitaire constante sans altérer ni sa portance totale ni sa résistance. En supprimant ensuite des éléments convenables pour ne pas modifiér la portance totale, la valeur de la résistance induite se trouve augmentée en vertu du principe démontré ci-dessus.

IL est clair que par des adjonctions et suppressions de ce genre on peut passer du système initial à tous les systèmes de même portance totale dont tous les éléments sont intérieurs au système primitif ou du moins ne dépassent nulle part ses limites.

De tous ces systèmes, c’est le système primitif (en anneau fermé) qui possède effectivement la plus faible résistance à égalité de portance totale.

15. Résultats numériques. — La surface F' peut se calculer, pour certaines formes de systèmes portanis, en appliquant les méthodes fournies par l'Hydrodynamique.

1 Pour le monoplan droit d'envergure b (plaque plane), la

. \ T surface F’ est égale à celle du cercle de diamètre b : F— r DES

2° Pour un système portant circulaire (système en anneau fermé), la surface F'est égale à — b?, b désignant le diamètre

du cercle portant.

Pour les systèmes suivants, il faut introduire les valeurs des intégrales elliptiques normales de première et seconde classe pour le module # : K,E et les intégrales normales complètes correspondantes K, E. Soient, en outre, K', E’, K', E' les valeurs des intégrales correspondantes pour le

module #'= V1— *?.

D’après les calculs effectués par R. Grammel :

3° Pour un biplan droit formé de deux monoplans droits . associés et d’égale envergure, le minimum minimorum de la résistance a lieu pour un rapport de l’entreplan À à l’envergure b donné par

TRETt

hr -b et la section transversale équivalente F’ à pour valeur F'— b2(1+ H— 0e).

Dans ces formules. le module # est supposé voisin de zéro et l’on a

€? — a = (/ à = E(4)—eK(e).

4° Pour un système portant rectangulaire, représentant ün biplan muni aux extrémités latérales de cloisons verticales et dont la résistance induite minima est inférieure à celle de tout système inscriptible dans son cadre, ce minimum est atteint pour

k E—42RkR CRETE

La section transversale équivalente F' est donnée par

ok"

= i(E—-eK)

2° Pour un monoplan d'envergure b présentant une fente médiane de largeur d, l'aire F' est donnée par l'intégrale

où la fonction ® est définie par

ER s.

(y 1 K(e) — so],

t élant la variable auxiliaire

NN a LE bd?

et le module Æ étant égal à 1e (5) Ê

K. Pohlhausen a effectué les calculs numériques correspondant aux cas 3°, 4° et 50,

En désignant par y le rapport de la résistance induite totale du système considéré à celle du monoplan équivalent, le Tableau suivant donne les valeurs de ce coefficient pour un biplan et pour un système rectangulaire, pour différentes

valeurs du rapport À G

nr b?

TABLEAU 2. — Valeurs de X = TF:

b Biplan.... 1,000 0,890 0,825 0,776 0,739 0,684 0,645 0,615 Rectangle, 1,000 0,865 0,787 0,728 0,680 0,601 0,545 0,500

Le biplan présente donc à envergure et portance égales une résistance inférieure à celle du monoplan. Le cadre rectangulaire portant est supérieur à tous deux, comme le fait prévoir la loi générale énoncée plus haut.

Pratiquement, on peut se contenter pour représenter. y des formules approchées suivantes :

Biplan :

63 h sn +5 | (66) LS —— ; PAIE UAU TS Rectangle :

: 10,457 67) joe PV 13049 2,8%

Quant au monoplan à fente médiane, on compare sa résistance à celle du monoplan formé par le rapprochement et la soudure des deux parties, donc d'envergure (b — d). En désignant par y le rapport de la première résistance à la

seconde, le Tableau suivant fait connaître les valeurs de ce

e d coefficient pour différentes valeurs du rapport. :

b , r (b— dy?

TaBLEAU 3. — Valeurs de y — PAS Ets . 0,000 20,001 M0; 010 0310 01e 0,29: 0,9. 1,0: X:-::1,000 1,312 1,480 1,612" 1,763. 1,896 1,975 2,000

Ces valeurs sont représentées approximativement par la formule

[ ) 4 + 0,35(rolog 2)

V. — Influence des parois et des surfaces libres aux limites du fluide. “

16. En principe, les essais sur modèles réduits dans les souffleries aérodynamiques peuvent se classer en deux grandes catégories suivant la nature des limites de la veine (à vitesse uniforme en l'absence d'obstacle immergé) dont on mesure

les réactions contre les maquettes reliées à des balances convenables,

1° Essais au tunnel, lorsque la veine est limitée par un cylindre rigide dont l'axe est parallèle à la vitesse générale du courant libre,

2° Essais en veine libre, lorsque la veine traverse librement l'atmosphère de la chambre d'expériences à pression uniforme.

L'étude de l'influence des parois du tunnel, dans le premier cas, des surfaces libres limitant la veine, dans le second, présente un intérêt considérable puisqu'elle permet, si on la fonde sur une théorie satisfaisante, de déduire des essais effectués au laboratoire aérodynamique sur modèles réduits les caractéristiques des éléments Correspondants en vraie grandeur dans une atmosphère indéfinie.

Au laboratoire de Moscou, le professeur Joukowski utilisait un tunnel, En France, M. Eiffel, à Auteuil, et, en Allemagne,

le professeur Prandit, à Gôttingen, opèrent au contraire avec une soufflerie à veine libre.

Cherchons à déterminer la forme des conditions aux limites pour la veine guidée ou libre. Remarquons d’abord que, pour celte dernière, les hypothèses caractérisant la « théorie du premier ordre » conduisent à négliger les déformations des surfaces limites dues à l’immersion du modèle et à considérer la veine comme cylindrique, que le modèle y soit ou non immergé.

Disposons alors l'axe des Y suivant la vitesse du courant libre, c’est-à-dire l'axe de la veine, et, vers laval, l'axe des Z suivant la direction de la résultante des réactions de l'aile sur le fluide en mouvement, l’axe des X formant avec les précédents un trièdre trirectangle direct.

Pour la veine guidée, la condition aux limites exprime que la vitesse normale à la paroi du tunnel est nulle en tout point de celle-ci.

Pour la veine libre, la pression à Ja surface libre est égale à la pression p, à l'infini du courant libre, l’atmosphère ambiante étänt supposée au repos et indéfinie.

Appliquant le théorème de Bernoulli à la ligne de courant venant de l'infini et passant par le point considéré de la surface libre limitant la veine, on peut écrire

Po + : [OV +o + ut 2] = po, + A

med or A £ 10

pVr+ à -

u négligeant les carrés des vitesses de perturbation w, #, w à côté de ces grandeurs, il reste

(69) oVe—=0o (# = 0).

Telle est l’expression de la condition aux limites pour la veine libre.

Pour déterminer le champ des vitesses dans une veine influencée par une aile essayée et dont la vitesse du courant libre V est connue, nous supposerons que les surfaces rigides ou libres de la veiné ne donnent naissance à aucun tourbillon.

I suffit alors, pour obtenir la même répartition de vitesses

dans l’espace, d'imaginer que l’on superpose au champ de vitesses correspondant dans le fluide indéfini à l'aile donnée et à la même vitesse à l'infini, les deux champs suivants dérivant chacun d’un potentiel :

1° À l'extérieur de la surface limite de la veine le champ opposé à celui du fluide indéfini (ce qui annule la vitesse en tout point de cette région);

2° À l’intérieur de la même surface, le champ possédant sur la surface limite une vitesse normale à la paroi rigide, ou une vilesse de perturbation suivant l’axe des Y pour la paroi libre, opposée à la vitesse correspondante au même point du champ du fluide indéfini.

Cette application du principe de la superposition permet, dans le domaine de la théorie du premier ordre, une évaluation relativement facile de l'influence des parois rigides ou libres (1).

17. Cas de la veine libre. — Soit p la valeur de la composante suivant l’axe des Ÿ de la vitesse de perturbation due à l’aile dans un fluide indéfini en un point de la surface limite de la veine, le symbole £ désignant la valeur d'une grandeur g en un point de cette surface limite.

Soit ® le potentiel superposé au mouvement du fluide indéfini à l’intérieur de la surface limite de la veine; on a en un point d’une génératrice de cette surface

En intégrant le long de cette génératrice et remarquant qu’à l'infini amont, la vitesse w est nulle et le potentiel ® uniforme et par exemple nul, il vient

Me Je (70) F)=— f ° dy, expression qui donne la valeur du potentiel complémentaire en tout point de la surface limite, puisque le champ corres-

pondant au fluide indéfini et supposé connu fournit la valeur de ».

(7) Cf. PRANDTL, op. cit., p. 124 et suiv.

La détermination du potentiel dans l'espace intérieur à la surface limite de la veine est ainsi ramenée dans chaque plan de profil (y — const.) à la détermination d’une fonction harmonique et régulière dans une région finie du plan et dont on connaît les valeurs sur le contour de cette région. Ce problème, dit problème plan intérieur de Dirichlet, admet une et une seule solution, le potentiel ® est donc bien déterminé.

Pour étudier l'influence des surfaces libres limitant la veine sur la résistance induite d'un système immergé, il suffit de résoudre ce problème plan pour le plan de profil du système portant que l’on peut toujours supposer sans décalage longitudinal.

L'influence totale des surfaces libres ne se compose, en effet, que de leur influence sur la résistance induite propre de chaque élément. La veine étant indéfinie dans les deux sens, on peut communiquer à un élément quelconque un déplacement final parallèlement à l'axe de la veine sans modifier la vitesse de perturbation due aux surfaces limites à l'endroit où se trouve localisé l’élément considéré. Par un déplacement convenable de chaque élément, on peut donc annuler tout décalage longitudinal du système portant essayé sans modifier la valeur de la résistance totale d’induction qu'il oppose au courant de la veine.

Dans le plan de profil du système portant à décalage ainsi annulé, la valeur périphérique du potentiel est donnée par

C7 P—=— fe po dy.

Nous allons montrer que, pour le champ complémentaire déterminé par le potentiel D et correspondant à la présence des surfaces libres comme pour le champ dans le fluide indéfini, les valeurs w,, #, des composantes de la vitesse d'agitation dans le plan de profil situé à l'infini aval sont exactement doubles des valeurs correspondantes &,, #9 dans le plan de profil du système portant. Les vitesses 41, 4: dérivent, en effet, du potentiel plan défini par

— PS Pi = — 1 o dy.

Or, la fonction (y) est une fonction paire de yet l'inté-

grale — f ° dy une fonction impaire de y. On a donc bien

U = 20, Mi = 20.

On peut remarquer, en outre, que si l'on ajoute au potentiel ® celui des vitesses d’agitation provoquées par le système dans le fluide indéfini (potentiel qui, à l’encontre de ©, possède des singularités correspondant aux tourbillons liés et libres à l’intérieur de la veine), on obtient un potentiel dont les valeurs périphériques sont déterminées par l’intégration, suivant les génératrices des surfaces libres, des valeurs périphériques de la vitesse d’agitation v du courant total de perturbation. La condition aux limites se traduit pour ce courant par

mL Eu — 0, c’est-à-dire par

Y — const.

On en déduit que les lignes de ce courant total de perturbation (qui, superposé au courant uniforme de vitesse V, donne le courant réel de la veine) rencontrent normalement les génératrices des surfaces libres de la veine.

18. Cas du tunnel ou de la veine guidée. — Le potentiel du courant complémentaire du courant indéfini est déterminé par la valeur, donnée sur la surface limite, de sa dérivée normale à cette surface. Cette valeur est égale et opposée à celle correspondante pour le potentiel du courant indéfini. Comme dans le cas précédent, cette condition détermine entièrement le potentiel complémentaire puisque le problème de sa détermination est ramené, au point de vue mathématique, à un problème de Neumann intérieur qui, comme le problème de Dirichlet du même genre, admet une et une seule solution.

Comme dans le cas précédent, la valeur du décalage longitudinal du système portant ne peut modifier l'influence des parois sur la résistance induite totale du système. Cette

influence peut s’évaluer en déterminant le champ de vitesses dans le plan de profil du système sans décalage ou le champ de vitesses w,, , double du précédent, dans le plan de profil à l'infini aval.

19. Détermination du champ des vitesses u,, 5. — Pour résoudre ce problème, on peut appliquer la méthode des tourbillons-images.

Si la section de la veine libre ou guidée est circulaire, on fait correspondre à chaque tourbillon libre émis par le système portant un tourbillon extérieur à la surface de la veine, passant par le point inverse, par rapport au cercle de section de cètte surface, du point formant l'origine du premier tourbillon et possédant une intensité tourbillonnaire opposée dans le premier cas ou égale dans le second à celle de ce tourbillon, cette intensité étant évaluée dans le trièdre-image du trièdre normal placé au siège du tourbillon-objet. À une CAR ds e émise par le système portant immergé dans Ja veine, la trans-

bande de tourbillons libres de largeur ds et intensité

Hg. 52-

formation précédente fait correspondre une bande de tour-

: ail billons-images de largeur ds’ et d’intensité = ds' telle que

ds’ HERO dE Eh ds = + mes ds.

En intégrant entre deux points du système image et les points correspondants du système initial, on obtient

TJ'— == 1BE

le signe — se rapportant à la veine libre pour laquelle les

lignes de courant du champ cherché w,, w, Sont toutes orthogonales au cercle de section de la veine, le signe + se rapportant au cas de la veine guidée où les lignes de courant correspondantes sont tangentes au cercle de section du tunnel.

20. Résuliats numériques. — 1° Filet portant à distribution elliptique de la portance placé transversalement dans un plan méridien d’une veine libre à section circulaire.

Soient b l’envergure du monoplan, D— 2R le diamètre de la veine, w/ la composante de la vitesse d’agitation complémentaire due à la surface libre limite de la veine en un point du

filet portant d’abscisse x.

2æxb

de (' conduit à l'expression suivante développée en série suivant les puissances croissantes de és

; le calcul

Définissant la variable auxiliaire Érpar —

(53) de np l+iesine hou

À cette vitesse (v' correspond une résistance induite supplémentaire W! pour le monoplan qui mesure l'influence des limites du courant sur la résistance que lui oppose l’aile immergée. La valeur de W' est

NN re. MEN LRU RD ; à. T AnRpVe ln) SE 5 rate

Si l'on suppose que la distribution de la portance sur Île filet portant envisagé est rectangulaire au lieu d'être elliptique, on est conduit, pour l'expression de W', à un développement en série qui débute par le même terme. L'importance prédominante du premier terme permet de conclure que la forme de la distribution de la portance influe peu sur la valeur de la résistance induite supplémentaire,

En se limitant au premier terme, on est ainsi conduit à la formule approchée suivante pour la résistance totale d’un monoplan droit de section transversale équivalente F’ placé au milieu d’une veine à section circulaire F,— Re? :

ES A? /: I (ASE DRE PR PRERETS De 75) w (FR)

La majoration apportée à la résistance par les limites de la veine atteint déjà à pour un rapport À PE = En appliquant la formule (74), plus précise parce qu’elle comprend Jes deux premiers termes du développement en série, cette majoration est estimée à 0,1262 pour la distribution elliptique au lieu de 0,125. La formule correspondant à la relation (74) pour une distribution rectangulaire, c'est-à-dire uniforme, de la portance suivant l’envergure de l’aile donne pour valeur de la majoration 0,127. Dans les deux cas, approximation fournie par la formule (75) est donc très satisfaisante.

Pour un canal de section circulaire, les’ résultats sont changés de signe; il ÿ a une réduction de la résistance totale due à l'influence des parois du tunnel.

2° Aile à profil constant traversant une veine libre à section circulaire.

Aux deux points où l’aile franchit la surface limite de la veine, la différence des pressions sur les deux faces de l’aile s’annule, donc aussi la portance.

Pour évaluer la vitesse totale de perturbation, développons-

la en série par rapport aux puissances croissantes du rapport À — Re æ étant l’abscisse d’une section transversale de l'aile et R le rayon de la veine. Ce développement ne comprend que des puissances impaires de À, car la vitesse totale de perturbation f(æ) dans la veine est la même que si le fluide était indéfini et si l’on faisait correspondre à chaque élément de tourbillon situé à l’intérieur de la veine un élément situé à l'extérieur, réciproque du premier par inversion par rapport au cercle d’intersection de la veine par le plan de profil du premier élément, de même intensité et de sens opposé, ce sens étant rapporté au trièdre déduit par la même inversion d’un trièdre normal placé au siège du premier élément.

11 en résulte que la fonction f(x) vérifie nécessairement la relation

see (À).

D'autre part, elle s'annule bien pour 3—+R puisque la fonction À s’annule aux mêmes points.

Dans une section transversale de la partie immergée de l'aile considérée, la circulation T du fluide se développe évidemment suivant une série analogue.

M. K. Pohlhausen a donné l’expression suivante de l(x), limitée au deuxième terme,

en (76) r=vrfogen roles) |

et, pour la portance totale À de la partie immergée,

+R 3 (DATE [ CMD evene |au(r—2)+e(ér —4)].