RER

La composante w de la vitesse totale de perturbation est

R?— 2x2 (oc; 3 Ri— 6R222+ #4 = — R2V C9 — À, PAR ÿ (R+ 2) } 2 Aa (R?+ #2}?

La résistance induite totale de la partie immergée est

tres 3 (79) = geV?R? Cie dite

Le minimum de cette résistance W Pour une portance totale À donnée, s'obtient pour

EE DS ET et Me nrs T et a pour valeur A3 A2 8 ; V in, = ————— — 74 SR à ( 2 Wm . 2277 VIRE 1,7 ‘49F

Cette résistance minima est 1,74 fois la résistance d’un monoplan d'envergure 2R dans le fluide indéfini.

La formule approchée (75) où l’on ferait b— 2R, ce qui entraîne F'—F,, donneräit

(81) Win = ,5 =——

Pour ce cas extrème d'envergure d’une aile immergée, on

voit que la formule (35) fournit une approximation encore assez satisfaisante.

Courant à deux dimensions limité par des surfaces

libres (ou des parois rigides). — Ce cas se présente, lorsque, pour déterminer les propriétés d’un profil d’aile, on essaye dans une veine libre un troncon d'aile à profil constant limité à chaque extrémité latérale par deux cloisons parallèles de grande étendue.

Il faut alors tenir compte de la variation le long de la profondeur de j’aile de la vitesse de perturbation. En d’autres termes, on ne peut négliger dans ce cas l’incurvation du courant, au voisinage de l'aile, provoquée par les surfaces libres parallèles qui limitent le courant plan au-dessus et au-dessous de l’aile immergée.

Supposons que l'aile soit figurée par un tourbiflon portant placé au milieu de la veine de hauteur k. Le champ des vitesses à l’intérieur de la veine restera le même si l’on suppose le fluide indéfini et que l’on y imagine répartis une infinité de tourbillons portants parallèles, disposés dans un même plan de profil, possédant la même intensité T et le même sens (en adoptant pour tous le même sens positif autour de leur direction), écartés de l’un à l’autre d’une distance égale à la hauteur 2 de la veine.

Ces tourbillons sont les images du tourbillon portant initial que l’on obtient par une succession indéfinie de réflexions de celui-ci alternativement sur chacun des plans parallèles à l’axe de la veine et qui forment les limites de cette dernière.

La vitesse de perturbation à l'infini aval du système en « grille indéfinie » ainsi constitué a pour expression

A A (82) y = BVIR — oVE,

et la résistance induite de l'aile immergée dans la veine est

A w:; ca A2 De A?

2 V br 20 VF x: 49F0

Évaluons l’incurvation du courant de la veine au voisinage de cette aile. Dans le plan déterminé par la ligue portante figurant cette aile et par l’axe de la veine, la composante de la vitesse de perturbation a pour valeur

Fe

y I GER) in ba PTE

Au voisirage de l’aile considérée, c'est-à-dire pour y petit cette formule peut s’écrire

Ty PART (85) AE ne

et la courbure de la ligne de courant correspondante dans la même région est le rapport de la différentielle de l’angle de

Fig. 53.

. É Ur s æ\., Conlingence de la ligne ( assimilable à sa tangente & ) à celle

du déplacement (assimilable à sa projection sur l'axe des Y), ce qui donne

(86) I POP HN RE Se RAR CAT R © oy V)= RE sv 7 1222

En vertu du principe de superposition, l’action du courant incurvé de vitesse V sur un profil donné dans les conditions précédentes (courant plan limité par des surfaces libres) est identique à celle d’un courant rectiligne de même, vitesse sur un profil dont la courbure en chaque point serait déduite de celle du profil proposé au même point en la corrigeant de la courbure évaluée par la formule (86) du courant incurvé de la veine. La présence d’une résistance dans le courant plan

étudié est due à la rotation que l’incurvation précédente du courant entraîne pour la portance du profil. Celle-ci se trouve inclinée sur le plan de profil de l'aile d'un angle assimilable à sa tangente, Dans le cas du courant plan dans un tunnel à section rec- - tangulaire, les tourbillons-images, qu'il faut répartir dans le fluide indéfini pour obtenir après suppression des parois rigides limitant la veine le même champ de vitesses à Pintérieur de celle-ci, sont identiques à ceux du cas précédent. Mais leur sens de rotation est alternativement droit et gauche quand on passe d’un tourbillon du système en grille ‘au suivant. À l'infini en aval de ce système, on a alors

et la résistance induite est nulle.

Le courant est cependant incurvé et la correction de courbure nécessaire, pour passer des essais en courant plan limité aux caractéristiques du profil en courant plan indéfai, est égale à la correction donnée par la formule (86) pour le cas de la veine plane et libre, mais doit être effectuée en sens contraire.

VI. — Les conditions à une grande distance à l’aval de l'aile.

91. Remarquons tout d’abord qu'avec les approximations de la théorie, les composantes w, y, w de la vitesse d’agitation d'une particule située à une grande distance de l’aile sont données par la sommation des vitesses élémentaires, évaluées par les formules (40) en tenant compte du fait que les rayons vecteurs joignant la particule considérée à deux éléments portants quelconques sont regardés comme parallèles et en remplaçant dans ces formules, pour un élément portant incliné de e sur l’axe des X, l’angle 6 par B 2.

Au cas où les éléments portants ne sont pas tous parallèles, l'axe des X dans le plan perpendiculaire à la vitesse V (plan de profil) est déterminé par la condition que la projection $ suivant cet axe de la résultante des actions de l’aile sur le

fluide soit nulle S = fr ASS 0:

La pression en un point situé en dehors de la zone des tourbillons libres est exprimée, en régime permanent, par la formule de Bernoulli qui donne ici

TT = P HPUV+<o)+ u?+ w2]

(87) Po+ 0

A ser

et, négligeant w?, v?, w? à côté de +.

(872) P = Po— po V P,

Par rapport à la pression Po du courant libre à l'infini, il rêgne dans le fluide une dépression au-dessus de lPaile, une Surpression au-dessous dont la valeur absolue à la cote z est

pV Cosacosf. Az :

Faisons la somme des Surpressions élémentaires qui

s’exercent sur les éléments d’un plan de cote 3. La force qui en résulte est

(89) N== f [E a2 À / J/SAT [A

OU, en appelant 49 l'angle solide sous lequel on voit de l’origine O l'élément de surface do,

Le fluide compris entre deux plans indéfinis, parallèles, de Coles 3 et — z (3 étant tres grand), se trouve donc soumis, en dehors de la réaction de l’aile, à deux forces agissant sur les plans qui le limitent, une dépression pour le plan supérieur, une Surpression pour le plan inférieur, Par suite de même

sens et même valeur. La résultante de ces actions de pression sur les plans limites de la zone fluide considérée équilibre donc exactement la portance A de l'aile, En appliquant le théorème des quantités de mouvement à cette zone fluide, il faut en conclure que la quantité de mouvement verticale de cette zone fluide à une valeur constante. On voit ainsi que cette propriété, qui caractérise la masse totale du fluide indéfini lorsqu'on fait l'hypothèse de la permanence du régime de mouvement, s'étend ici à une portion quelconque du fluide comprise entre deux plans indéfinis parallèles au plan des XY et comprenant l’aile dans leur intervalle.

Si l’on suppose que le fluide, au lieu d’être indéfini en tous sens, soit limité au-dessous de l’aile par une paroi plane’ parallèle au plan des XY (cas du mouvement d’une aile parallèlement au sol et à son voisinage), la répartition des pressions dans l’espace se déduit de la précédente en appliquant la méthode des images. Rien ne sera changé, en effet, à la distribution des vitesses et des pressions, si, supposant le fluide indéfini et la paroi supprimée, on introduit dans le fluide des tourbillons-images quant à la direction, au sens et à l'intensité des tourbillons primitifs par rapport au plan de la paroi supprimée.

Un plan situé entre l'aile et le sol est donc soumis à une surpression totale égale à À puisqu'il est à la fois au-dessous de l’aile primitive et au-dessous par réflexion de son image. Au sol même, la résultante des actions de surpression est donc égale à la portance. Pour un plan situé au-dessus de l'aile primitive el par suite au-dessous par réflexion de son image, la dépression due à la première équilibre la surpression due à la seconde, et, par conséquent, tous les plans situés au-dessus de l’aile sont des plans où les dépressions et surpressions locales s’équilibrent.

La remarque faite plus haut pour la quantité de mouvement verticale du fluide compris entre un plan indéfini de la première espèce et un plan indéfini de la seconde s’applique ici pour les mêmes raisons.

Ainsi, la portance qui résulte pour une aile de son déplacement parallèlement au plan du sol se retrouve sur celui-ci en surpressions dans une zone plus ou moins étendue, ainsi qu’il est facile de le voir, suivant la proximité du sol. Cette

modification de la pression sur la surface du fluide se transmet instantanément dès que l’on déplace l'aile, le fluide étant incompressible. Si le fluide était compressible, la perturbation créée par le déplacement de l'aile se tränsmettrait avec la vitesse des ondes sonores dans le fluide, :

2. Distribution des vitesses et des Pressions dans la zone des tourbillons libres à une grande distance de l'aile (29° — Pour évaluer les vitesses U, Ÿ, w au voisinage de l'aile, nous avons pu négliger le mouvement propre des tourbillons libres et supposer que la nappe qu'ils forment gardait sur toute son étendue la forme et la distribution de tourbillons qu’elle possède à son origine. À une grande distance de laile cette approximation s'écarte trop de la réalité et il devient nécessaire de tenir compte de la déformation de la nappe.

Il faut distinguer deux sortes de mouvement des tourbillons de cette nappe :

1° D’une part, les bords latéraux de la nappe qui naissent aux extrémités de l'aile s'enroulent sur eux-mêmes symétriquement par rapport à la partie centrale. Les filets de tourbillons libres arrivent ainsi à se rapprocher des régions marginales de la nappe, puis à se tresser en une sorte de mèche tourbillonnaire, à la manière des brins d’une corde.

2° D'autre part, dans un même plan de profil, tous les points de la nappe sont animés d’une vitesse vers le bas.

Le phénomène d’enroulement des bords de la nappe a pour résultat de réaliser à l'infini aval une distribution de tourbillons assimilable à celle de deux noyaux cylindriques, de distribution intérieure uniforme, et symétriques par rapport au plan médian de l'aile, Autour de l’un de ces noyaux cylindriques, la circulation du fluide est égale-à sa valeur autour de l'aile dans le plan médian.

Dans les noyaux, les lignes de tourbillons libres sont hélicoïdales, L'inclinaison sur l'axe du noyau, approximativement parallèle à l’axe des Y, que présentent ces hélices engendre à l'intérieur des NOYAUX une composante suivant cet axe de la vitesse de perturbation : soit p' cette Composante su pplémentaire, La vitesse d’une particule suivant l'axe des Y est

(7) Cf. Pranprz, OP. Cét., p. 131 et suiv.

alors V+ +, mais », due uniquement aux tourbillons portants situés infiniment loin de la région considérée, peut être négligée.

À l'infini en aval, il règne une pression p inférieure à la pression p,. La valeur de cette dépression en un point situé à. des distances 7, et r, des axes des noyaux et extérieur à ceux-ci est, en négligeant vs’,

(90) « à Por PI= PTS

m2 [2 (97) RP OT 2 arr

l désignant la distance des deux axes et l, la valeur commune de la circulation autour des noyaux.

A l'intérieur des noyaux, la dépression est influencée par la valeur de la composante supplémentaire v', vitesse que l’on peut négliger à l'extérieur des noyaux où les influences des lignes hélicoïdales, suivant l'axe des Y, se compensent approximativement au lieu de se renforcer.

Si l’on désigne par u' la vitesse à la périphérie du noyau de rayon r', la pente de l'hélice d’une ligne de touarbillons située à la surface du noyau a pour valeur

Van V.2nr (92) tanga= nn Le pas de cette hélice est / 2 72 V (93) Hæo2nmres Âr ,

Chacun des noyaux, et par suite le système entier des

ds ROY.

tourbillons libres, se meut avec la vitesse verticale de descente

(94) LE Er à

C'est ce mouvement de translation qui est la forme à Pinfini aval du mouvement de descente de la nappe des tourbillons libres comme la disposition câblée des noyaux de tourbillons y est celle de la disposition enroulée de la nappe sur ses bords. .

Dans un biplan à ailes identiques, à chaque aile correspondent deux noyaux à disposition hélicoïdale et de-même circulation L,. Ceux situés d’un même côté s’enroulent mutuellement en hélice et dans le sens de leur enroulement propre sur un cylindre dont le diamètre h est approximativement égal à l’entreplan. La projection de la vitesse de cet enroulement mutuel sur un plan de profil est approxima- Uuvement

(95 Ug = à 9 ) î 2ThA

Le pas de l’hélice formée par chaque noyau est

; (96) PRE RL om 4 DU: T;

et en un point de l'axe du cylindre sur lequel s’enroulent ces hélices, la composante p’ de la vitesse de perturbation à pour valeur approchée

23. Calcul de la tratnée induite de l'aile. — La trainée induite de l’aile dépend de l'énergie cinétique communiquée par l'aile au fluide, par unité de temps, c'est-à-dire de l’énergie cinétique du Système de tourbillons.

Appliquons le théorème des quantités de mouvement, en projection sur l'axe des Y, au fluide compris entre l'aile et la surface d'un cylindre dont les génératrices parallèles à V sont trés éloignées de l'aile et deux plans de profil l’un en amont, l’autre en aval. Soit 4F un élément de surface de ce dernier plan. Faisons-lui correspondre par lignes de courant

un élément homologue de l’autre plan. La différence des pressions qui s’exercent sur ces deux éléments est donnée d’une façon générale par la relation (87) -

(Po— p)dF — [eve 8 e (p2+ ui + w?)| dE.

La variation de la quantité de mouvement, suivant l’axe des Y, de la masse fluide considérée pendant le temps dt est représentée par la différence des quantités. de mouvement longitudinales des éléments fluides qui sortent de la surface limite ou ÿY pénètrent pendant ce temps. Ces quantités se -CoOmpensent sur la partie cylindrique de la surface. Les plans extrêmes fournissent la variation cherchée

— at FLN eV +00 »')] dE, ; D

l'intégrale étant étendue à la base aval du cylindre.

Le théorème des quantités de mouvement donne alors suivant l’axe des Y, et en appelant W la traînée induite cherchée,

= Wadi f [fever Eçutsvseus) Jar

2e f° [20Vr pe] dE.

En tenant compte de ce que, par suile de l’incompressibilité du fluide

(98) : Jfs'ar 0;

lorsqu'on rejeite à l'infini toutes les limites envisagées, on obtient dans ce cas, l’intégrale étant étendue à tout le plan de profil situé à linfini aval,

(99) w=tf (u2+ w22 92) dF,

Si l'on tient compte, en outre, du fait que l’axe d'un noyau de tourbillons est incliné d’un angle d sur l’axe des Y tel que