INTRODUCTION
Origines de la théorie. — La théorie de l'aile portante a été édifiée en Allemagne par le Professeur L. Prandtl, directeur de l’Institut de recherches aérodynamiques de Güttingen, avec la collaboration des ingénieurs attachés à cet établissement. C’est surtout pendant la dernière guerre que cette théorie s’est développée en raison de l’activité déployée pour les essais aérodynamiques et dans le but de fournir à la technique de l'aviation les méthodes de calcul et les formules nécessaires à l'établissement des surfaces portantes des avions.
Cette théorie doit beaucoup aux idées exposées par le physicien anglais Lanchester dès 1894 sur la circulation des vitesses dans les fluides autour des surfaces portantes et les mouvements tourbillonnaires créés dans un fluide par le déplacement de ces surfaces.
L'expression quantitative de la force de sustentation ou portance d’une aile d'envergure infinie dans un fluide parfait a été formulée en 1902 par W.-M. Kutta, en Allemagne, et en 1905 par le Professeur N. Joukowski,en Russie. Ces savants semblent d’ailleurs être parvenus à ce résultat par des voies complètement indépendantes.
Enfin, dès 1904, le Professeur Prandil, après des études expérimentales sur le mouvement des fluides à faible viscosité, avait constitué une théorie dite des « couches limites » pour soumettre au calcul les mouvements tourbillonnaires
observés. Des études analogues poursuivies en collaboration avec le Prof:sseur Karman conduisaient celui-ci en 1911 à formuler une théorie tourbillonnaire de la résistance à l'avancement.
La théorie de l’aile portante a fait de nombreux emprunts aux travaux que nous venons d’'énumérer. Les formules auxquelles elle conduit sont vérifiées par l'expérience de façon satisfaisante et celte concordance, que ses auteurs cherchent à améliorer, suffit à justifier le mérite de ceux-ci et l'intérêt pratique de leur travail.
Rappel des équations de l’'Hydrodynamique dans le cas du fluide parfait ou sans viscosité. — Si x, y, z désignent les coordonnées à l'instant £ d’une particule du fluide; u, ?, æ sa vitesse, p sa pression, p sa densité au même instant; X, Y, Z les composantes de la force extérieure rapportée à l'unité de volume et agissant sur la particule considérée, les équations du mouvement de cette particule fluide sont
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auxquelles s'ajoute la condition de continuité exprimant que le fluide reste continu au cours de son mouvement, c’està-dire qu’il ne se produit ni trous, ni failles,
dp . d(pu) d(pe) d(pæw) (4) RARE PE TT RS rue
Pour déterminer les cinq fonctions inconnues w, P,w, p, p des variables æ, y, z, £, il faut une relation supplémentaire et, par exemple, l'expression de la densité p en fonction de la pression p et de la température @ au cours du mouvement :
(5) pe = /f(p; @).
En supposant le fluide incompressible et à température constante, cette relation se réduit à
(6) p = const.
On démontre que l’on peut, en première approximation, et pour les vitesses intéressant |’ Re négliger la compressibilité de l’air.
En considérant donc l'air comme un fluide incompressible et dénué de viscosité, les équations de l'Hydrodynamique prennent la forme
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1 0p de de dv d6 — =Y—u— — D — — mp — —;, o 0y CEA 0y 0z ot Il 0) Jo Œ) DDR or 0e 04e p 03 0x dy oz ot
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équations qui permettent, connaissant les conditions initiales et les conditions aux limites, la détermination du mouvement d’une particule fluide.
Les variables employées æ, y, z, t portent le nom de «variables d’'Euler ». On met quelquefois les équations de l’'Hydrodynamique sous une autre forme, en utilisant les variables de Lagrange : coordonnées a, b, c de la particule considérée à l’instant inilial et temps £. La résolution du problème du mouvement consiste alors à déterminer la trajectoire de chaque particule, on connaît ensuite la vitesse à chaque instant par la dérivation des fonctions
par rapport au temps £.
Lorsqu on emploie les variables d'Euler, on cherche au contraire à déterminer le champ de vitesse et de pression à chaque instant. La trajectoire d’une particule se détermine alors par intégration à partir de sa vitesse.
Nous emploierons uniquement dans ce qui suit les variables d’Euler et supposerons le fluide parfait et incompressible.
Cas du régime permanent. — On dit que le régime est permanent lorsque les fonctions u, #, , p, p sont indépen-
dantes du temps. Les équations du mouvementse simplifient alors et deviennent
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: X ns PS por T7 0x dy 0z ao = ue HR Are o dy dx 0y 0z (HT) T0: Fe CL 2e CLS dw PPT UT ee. GRR du dp dw e dx dy Oz =ICORSES
du de dw AP ot dr?
Multiplions la première équation par dx, la seconde par dy, la troisième par dz et ajoutons, il vient Ô à
(7) : (de + Lay + È ds)
=Xdr+Ydy+Zd Rite je da)
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du de dw w (de ne dy + Se ds) .
par disparition des termes
Si l’on veut déterminer la variation de pression le long d’une ligne de courant, trajectoire commune à toutes les particules fluides qui se trouvent sur cette ligne à un instant quelconque, il faut donner aux déplacements dx, dy, dz des valeurs proportionnelles aux projections de la vitesse au point considéré, de façon que ;
CUT dy = + dt, da = w dt.
Substituant ces valeurs dans l'équation (7), il vient (8) dP = X dx + Y dy +Zdz d [V: à [V2 o /V?
RGO) en désignant par V la grandeur de la vitesse au point +,
