PQ.R
@ contour (flux évalué à la traversée de la face négative à la
face positive). On a P dx + Q dy +R da CG ‘ 9R dQ\ -f Lies 9P 0R 0Q .9P\ + cosf(T — =) + os (T — T)| da.
La face positive de la surface Q est celle sur laquelle un
observateur doit se trouver debout pour voir tourner autour de lui dans le sens positif un mobile parcourant le contour C dans le sens de l'intégration. Le tourbillon du vecteur K(P,Q, R) au point x, y, s est le vecteur de composantes oR 0Q dP oR 0Q oP Je US Ro TrieR
Champ de vitesses engendré par un filet de tourbillons (). — Dans un champ de tourbillons on appelle «filet de tourbillons » la zone limitée par les lignes detourbillons (tangentes en chacun de leur point au tourbillon correspondant) qui s'appuient sur un petit contour fermé.
Si l'on considére un élément de filet tourbillonnaire de longueur ds’, de section da’, d'intensité tourbillonnaire w'(Ë', n!, £!) situé au point x’, y’, 3’, la vitesse (uw, s, w) que sa rotation communique à une particule fluide située au point æ, y, 3 est donnée par la loi de Biot et Savart. C’està-dire que cette vitesse est identique à celle que prendrait la particule sous l'effet de la rotation w’ de l’élément mul-
À : ; AT n — dr désignant le volume de l'élément de filet tr
et r la distance du point considéré à cet élément.
tipliée par
W Cu,v,w)
Mix, y,x/
Cette vitesse W a donc pour valeur
W = w'r sin ds” do'
Arr
ou, en désignant par dT la circulation autour de l'élément
(*) Le fluide est supposé continu et indéfini.
considéré, dr ; Wir r sine ds’,
ATrè
et, pour une ligne de tourbillons, il suffit pour obtenir Ja vitesse résultante communiquée à une particule située’ en M{(x, y, 3) de faire la somme géométrique des vitesses communiquées par chaque élément de la ligne en vertu de la règle précédente.
Exemple. — Soit à déterminer la vitesse W engendrée au point (x, y) par un filet rectiligne de circulation F issu du point O et dirigé suivant l’axe O x.
Cette vitesse, normale au plan æy, a pour valeur
co T ; T FRS | W= - dx" sing = — ra JE AITnE ÉTCeS 6, T2 1 T F - +: sin0 dû — RL Run 17 6,
et à infini du côté des x positifs,
pl
Wi=- AD PAU TE AN
Analogie électromagnétique. — L'identité de la loi d’action des tourbillons au sein d’un fluide et de celle des actions magnétiques des conducteurs parcourus par un courant montre que la vitesse engendrée par un filer de tourbillons d'intensité T en un point est représentée par le même vecteur que l’action magnétique d’un courant d'intensité L parcourant le filet dans le sens du tourbillon sur le pôle +1 placé
au point considéré si l’on choisit des unités telles que le coefficient À de la loi de Biot et Savart de l’électromagnétisme soit égal à re
Le potentiel des vitesses régnant dans le fluide en dehors des tourbillons est identique au potentiel magnétique des courants équivalents.
Quantité de mouvement communiquée à un fluide indéfini par un anneau de tourbillons. — Soit un anneau de tourbillons F, de circulation F. Soit une surface S quelconque
s'appuyant sur F et limitée à ce contour. Désignons par F la résultante de vecteurs ds normaux à chaque élément de la surface S et de longueur ds,
La quantité de mouvement communiquée par le filet F au
fluide indéfini de densité p est un vecteur W tel que
W=orF. |
Pour démontrer cette proposition, prenons un trièdre/x, ÿ, 3 et projetons en f le contour F.
Dans le fluide extérieur à l'anneau F règne un potentiel
des vitesses qui, en vertu de l’analogie électromagnétique, a :
pour expression 1à P = — 0 4r ?
8 désignant l'angle solide sous lequel est vu du point considéré l’anneau.F.
La projection sur l'axe Oz de la quantité de mouvement totale du fluide est, en prenant pour élément de volume df dz, df désignant un élément de surface du plan des LY,
| Pass We ff fe D df ds.
our pn élément df compris à l’intérieur du contour : P p lPintégration suivant Oz donne
oT + 98 CA ; ELA D D de = af x 4m = pr df.
Pour un élément df extérieur à ce contour, la même intégration donne zéro. En définitive,
W:= f fer ar= HAE
F; désignant la projection du vecteur F sur le plan des æy. L'orientation du trièdre étant arbitrairement choisie, on peut écrire la relation vectorielle
W = eTF, où le vecteur F ne dépend que du contour de l’anneau F. Supposons maintenant que l’anneau F se déforme avec le temps et entourons-le d’un parallélépipède délimité par des plans parallèles aux plans des coordonnées et tous très éloi-
gnés de l'anneau. Appliquons le théorème des quantités de mouvement, pendant le temps dé, au fluide compris dans l’espace ainsi défini, en projetant sur l’axe des z. Les forces extérieures sont les pressions sur les plans limites parallèles au plan des æy qui s’équilibrent et la force À qui s'exerce sur l'anneau. La variation de la quantité de mouvement de la masse fluide considérée pendant le temps dé lorsque les limites sont rejetées à l’infini a pour valeur
dW;= er dF;, et l’on peut écrire Nube= pr dis
Cette proposition est appliquée au paragraphe 23 de la deuxième partie.
Percussions exercées sur un solide immergé. — Dans le mouvement non permanent d’une zone fluide sans tourbillons, on peut écrire, le long d’un tube de courant qui se déplace et se déforme avec le temps,
0) d désignant le potentiel des vitesses variable avec le temps. Ceci constitue une généralisation du théorème de Bernoulli où intervient la variation avec le temps du potentiel des vitesses et de la constante caractérisant les particules du filet,
Exerçcons une percussion sur un Corps immergé dans le fluide et supposons qu’à l'infini amont la pression p, ne varie pas. La constante de Bernoulli est donc absolument invariable dans le temps pour chaque filet de courant puisque tous viennent de l'infini amont.
Dans l'expression précédente, en raison de la faible valeur
du carré de la vitesse par rapport à l'accélération du fluide
- : Pie V Ses et aux différences de pression, on peut négliger p— etécrire, pendant la durée de la percussion, la relation simplifiée
= = const. — p dt nv d { Po;
et,ensupposantque l’on parte du repos (P,= 0), l'intégration
donne, en appelant ® le potentiel à l'instant final + de la per-
cussion, /
ü / eb 4 (Po— P) dt.
Cette relation est utilisée au paragraphe 13 de la deuxième Partie.
