SI

comme résultant d’une vitesse principale V, ou vitesse du fluide à l'infini et d’une vitesse supplémentaire ». Le vec-

teur est alors dirigé de l'arrière de l'aile vers l’avant au-dessous de l’aile et de l’avant vers l’arrière au-dessus,

puisque le vecteur V, est constant en grandeur et en direction.

Donc

intégrale qui est manifestement non nulle en vertu de la

remarque que nous venons de faire au sujet de la vitesse p. La pression étant liée à la vitesse dans tout le fluide par la relation

AE = Po+ p — = const.

et la vitesse V possédant en certains points une valeur supérieure à V,, on peut se demander si l'hypothèse du contournement de l'aile par le courant sans formation de « sillage » n’entraîne pas l’existence de pressions négatives.

(*) La notation a.b désigne le produit géométrique du vecteur & par le vecteur à:

ab = a.b cos (a, b).

Dans la théorie de l'écoulement avec « sillage » il faut, pour échapper à l'impossibilité d’un régime permanent stable avec des pressions négatives dans le fluide, admettre que les dimensions transversales du sillage vont en croissant avec l'éloignement de l'obstacle (paradoxe de M. Bril- Jouin). :

En fait, en appliquant l'hypothèse de l'écoulement sans sillage, pour les vitesses intéressant l'aviation et dans l'atmosphère, à des profils analogues à ceux des ailes Joukowski, l’existence de pressions négatives n’est pas à craindre.

k. Comment se produit la circulation autour de l’aile. — Considérons toujours une aile d’envergure infinie et supposons qu'on la mette en mouvement sans variation brusque de vitesse dans le fluide immobile, en partant du repos à l'instant zéro.

À Pinstant 4, les particules fluides qui ont été en contact avec l’aile à un instant quelconque de l'intervalle o — #4 occupent une portion finie et continue de l'Espace (E).

Soit C, une ligne tracée dans le fluide à l'instant # et entourant la région (E) ou région « balayée » par l’aile, Soit d’autre part K le contour de l’aile ( fig. 8).

Les particules situées sur C,, à l'instant £, forment, à l’instant initial, une ligne fermée et cette courbe se déforme progressivement au cours de l’intervalle o — £.sans qu'aucun de ses points vienne jamais en contact avec l’aile.

Les particules de la ligne fluide considérée étant incompressibles, dénuées de viscosité et n'étant, d'autre part, soumises à aucune force extérieure, la circulation reste

constante sur cette ligne, donc nulle, puisque à l'instant initial toutes les vitesses sont nulles.

Désignons par Z l’aire comprise entre les contours C, et K

à l'instant £, par © le tourbillon du champ de vitesses dans cètte région. Le théorème de Stokes donne la relation

{ fva+f va f fade.

e UE k >

Et comme

on a (fig. 0)

Il faut donc admettre, pour expliquer la production de la circulation autour de l’aile, l'existence de tourbillons dans le fluide pendant la période du régime varié.

Fig. 9.

Dans le cas de l'aile d'envergure finie, si l’on attribue, comme dans le cas précédent, la portance de la surface à la circulation des vitesses autour de celle-ci, il faut admettre l'existence de tourbillons dans le fluide, même en régime permanent.

Soit, en effet, une aile À d’envergure finie en mouvement dans un fluide, le régime étant permanent ( jig. 10).

Considérons à un instant déterminé une ligne C, entourant l’aile dans sa portion médiane où l’on supposera, par analogie avec l’aile infiniment étendue, qu’il existe un potentiel pol;trope des vitesses. La circulation le long de C, est F, diferente de zéro. En déplaçant cette ligne le long de l’aile, on peut lui faire franchir l'extrémité de l'aile et, en la défor-

mant, la réduire à un point C,. Dans cette nouvelle position, la circulation F, est évidemment nulle. Soit Z une surface

Fig. 10.

qui s’appuie sur C, et passe par le point C,, on a

fva+fva-f De, C Ce /Y

Or

Donc frs ds- ACENCS x CAT

et l’on voit que, dans la déformation que l’on a fait subir au circuit d'intégration, celui-ci a coupé des lignes de tourbillons.

5. Origine des tourbillons. — Dans un fluide incompressible et sans viscosité, mis en mouvement sans choc à partir du repos, les particules ne sauraient acquérir de rotation ou, l’ayant acquise, éprouver une variation de leur rotation, tant qu’elles ne sont soumises qu’à des forces extérieures conservatives, c’est-à-dire dépendant d'une fonction de forces.

L'action de contact entre le fluide et la surface extérieure de l’aile, seule force extérieure agissant sur le fluide (la pesanteur étant négligée), étant une force non conservative, il en résulte que, seules, les particules du fluide qui ont été à un moment quelconque en contact avec la surface de l’aile peuvent à partir de ce moment posséder une rotation non nulle, rotation qui reste constante en vertu du théorème sur

la conservation des tourbillons. Quant aux autres particules, elles ne peuvent être le siège d’un tourbillon, et, par suite, sont soumises au cours de leur mouvement à un potentiel des vitesses.