II. — Théorie du profil. — Aile d'envergure infinie

6. Nous supposerons que l’aile est mise en mouvement sans choc à partir du repos et nous envisagerons le mouvement du fluide par rapport à l'aile.

Avant la mise en mouvement, les vitesses sont partout nulles. Elles dépendent donc d’un potentiel des vitesses. Après la mise en mouvement, celte propriété subsiste sauf pour les particules qui ont été en contact avec la surface de l’aile où se manifeste une action de contact qui communique à ces particules un tourbillon.

Dans le mouvement du fluide, on peut donc dire qu’il y a un potentiel des vitesses, sauf en certains points. Ces points forment une surface qui part de l’aile le long d’une ligne déterminée.

Quelle est cette ligne?

Pour les profils d’aile utilisés dans la technique de l’avion et les incidences faibles des régimes de vol, on peut admettre qu'il y a écoulement tout autour du profil de l’aile sans formation de sillage ou eau morte, masse fluide qui serait solidaire de l'aile au cours du mouvement. Par suite, la surface de tourbillons émanant de l’aile sépare deux portions en mouvement du fluide et, de chaque côté de la ligne de

Fig. nr.

départ À, le fluide s'écoule le long du contour du profil de façon à converger vers cette ligne À (Jig. 11). Cette ligne forme alors ce qu’on appelle une « ligne de

confluence » pour le courant divisé par l’arête antérieure. Le Professeur Prandtl justifie cette représentation du courant fluide en regardant le fluide parfait comme la limite d’un fluide à viscosité très faible dans lequel les hypothèses de la théorie des couches limites conduisent à considérer au contact de l’aile deux couches tourbillonnaires d'épaisseur très faible qui se confondent à l'aval en séparant toujours les mêmes masses fluides. A la limite, les couches latérales disparaissent, mais celle qui provient de leur réunion persiste avec une épaisseur infiniment petite et prend naissance à la surface de l’aile le long de la ligne de confluence.

Cette ligne de confluence coïncide nécessairement avec l'arête postérieure, car si cette ligne À se trouvait disposée ailleurs sur la surface de l'aile, comme l'indique la figure 11 par exemple, une ligne de courant telle que L devrait nécessairement dans l'écoulement correspondant éprouver une variation brusque de direction au droit de l’arête postérieure AP qui est toujours, dans la pratique, une arête vive et « saillante » dans le fluide, l'angle dièdre formé par les

Fig. 12.

Arête « saillante » &« > x.

faces de l'aile et mesuré dans le fluide étant supérieur à ñ. Or, au contournement d'un obstacle présentant ce caractére,

Fig. 13.

Arête « en retrait » &« < T.

une particule fluide dont le mouvement est régi par un potentiel des vitesses doit posséder au droit de l’arête une vitesse infinie.

Pour éviter cette conséquence, aucune grandeur physique ne pouvant atteindre une valeur infiniment grande, il faut donc admettre que l'arête postérieure est elle-même la ligne de confluence d’cù part la surface tourbillonnaire qui sépare les deux parties du courant, Cette proposition est considérée

comme un axiome de l'Hydrodynamique par Pranditl pour les profils d’aile courants dans les conditions habituelles de leur utilisation.

La surface tourbillonnaire qui prend naissance le long de l’arête postérieure de l’aile n'existe que pendant la. période du régime varié, Lorsque le mouvement atteint l’état de régime permanent, après un temps infini, cette surface a disparu, les tourbillons initialement formés, les plus importants, ayant été entraînés infiniment loin en arrière de l'aile, suivis de tous les autres tourbillons qui ont pris naissance ultérieurement avec une intensité décroissante, à mesure que l’état du mouvement tendait vers le régime permanent.

7. Cas du régime permanent. — Soit une ligne fluide ABCD formée de deux tronçons de lignes de courant L, et L,

CM Dr,

reliés par deux lignes quelconques AB et CD tracées dans le fluide en amont et en aval de l'aile.

Après un intervalle de temps dé, cette ligne fluide est

venue en À’ B’ C' D’, et si les lignes L, et L, ne sont pas au voisinage immédiat de l’aile, la circulation est restée constante sur la ligne fluide considérée. On a donc, puisque le régime est permanent,

va f Vas /f va+f CS = De A'B'C/D’ ABC V'ABB'A" CDD'C'

Or, en appliquant aux aires fluides ABB'A' et CDC'D' le théorème de Stokes, on voit que la circulation autour de la première aire est nulle puisqu'il n’y a pas de tourbillons à l’amont de l’aile et que, par suite, il n’y a pas de tourbillons dans la seconde, puisque sa circulation est nulle.

En choisissant convenablement L,, L, et la ligne CD, on peut décomposer toute la région aval du plan en éléments d’aire où le tourbillon est nul.

Par conséquent, il n'existe plus de tourbillons dans le fluide lorsque le mouvement a atteint l’état de régime permanent et il règne alors dans l'espace fluide doublement connexe un potentiel des vitesses polytrope.

Soient K le contour de l'aile immergée dans le fluide animé à l'infini de la vitesse V,, Ox et O y les axes de coordonnées, O x étant parallèle à V,.

Soient C un contour quelconque entourant l'aile et tracé

Fig. 16.

dans le plan æy et ds un élément (dx, dy) pris sur ce con-

tour et orienté positivement.

Evaluons la masse de fluide qui traverse cet élément pour

pénétrer dans le contour C pendant le temps de.

Cette masse élémentaire a pour valeur :

dm = p dsw cos(w, MN) dt

= p ds dt[ucos(u, MN) + vcos(v, MN)] = p ds dt[ucos(v, ds) —vcos(u, ds)]

[l O & à HA GR [È | A St à a)

. Appliquons pendant !e temps dt le théorème des quantités de mouvement à la masse fluide comprise entre les cylindres K et C et deux plans parallèles au plan des æy et dont l’écartement mutuel soit égal à l’unité.

a. Évaluons la quantité de mouvement acquise pendant le temps dt. Cette quantité a pour valeur, en projetant suivant Ox, puis suivant O y :

QMe= fu dm = p at ['utudy v dx]

= 9 de f tu(u de +» dy)—(u?+e?) dr],

u dx + v dy représente l'élément dy de circulation le long de ds, dans le sens positif, On a donc

g def (w?) dy — 8 dt ff v dr ( ü

o dt [dy — dtp(o1)8 + + dt | y dv, CA LEP

QMz

QM,= p dif[uy]o —| e dt frac f w? dx,

7 désignant l'intégrale curviligne de la vitesse, de l’origine Q prise sur le contour G au point courant M.

b. Evaluons maintenant la somme des impulsions des

forces extérieures pendant le temps dé et suivant les mêmes axes.

THÉORIE DES SURFACES PORTANTES. 27 Ces forces comprennent :

1° La réaction de l'aile sur le fluide, de composantes X (opposée à la traînée) et Y (opposée à la portance). 2° Les pressions du fluide extérieur sur le cylindre C.

On a donc, suivant Oz, X dt+ | p ds cos(MN, Ox)=Xdt- dt [ p dy:

suivant O y,

Yat+ [ » ds cos(MN, 0 y) = Ydt+ dt [ de C C

En égalant ces impulsions aux variations des quantités de

Rio.

mouvement évaluées suivant les mêmes axes, on obtient le

système ; Q (1) x= fto+pur)ar ete +e fre C C (2) Ye [url —e f x du — f (+ pu?) de.

c Jc

Supposons que tous les points du contour C soient infiniment éloignés du contour K de l'aile. Puisqu’il n’y a pas de tourbillons, le théorème de Bernoulli s'applique à tout le fluide et, la vitesse V, étant constante à l'infini, la pression ps y est également constante. On a donc, sur tout le contour C:

u = Vo = const. du — 0,

p = 0, dv = 0,

PTE

Les équations (1) et (2) deviennent :

(3) x 0) (4) Y=eVor,

où Fest la circulation, non nulle puisque le potentiel est polytrope, le long du contour C, ou, puisqu'il n’y a pas de tourbillons, le long d’un contour quelconque n’entourant | qu'une fois K, en particulier le long du contour K lui-même.

La relation (4) ou formule de Kutta-Joukowski peut s’énoncer de la manière suivante :

Taéorème. — Lorsqu'un courant, dont la vitesse à l'infini est V,, s'écoule le long d’un contour et que la circulation le long de ce contour est égale à T, la résultante des pressions du fluide sur le contour, par unité de longueur suivant l’envergure, est égale au produit du vecteur V, représentant la vitesse du courant à l'infini par la circulation L et par la densité p du fluide. La direction de la force s'obtient en faisant tourner de 90° le vecteur V, dans le sens inverse de celui de la circulation.

La question se pose alors de déterminer la circulation autour d’un profil en fonction de sa forme et de son angle d'attaque pour connaître, par le théorème précédent, sa portance dans les mêmes conditions.

Désignons par le potentiel des vitesses, fonction polytrope qui régit le mouvement de tout le fluide. Cette fonction, en vertu de l'équation de continuité

du NO dis vérifie l’équation dite de Laplace 929 0?

0x? + dy? ET Ag DE:

Mais l'équation de continuité exprime aussi que

— v dx + u dy

est une différentielle exacte; soit db cette différentielle. On peut poser

la fonction Ÿ est la current function de Stokes ou fonction de courant, Les lignes de courant ont, en effet, pour équation

= — ; ou db = 0, ou Ÿ = const.

La fonction de courant vérifie, comme le potentiel 9, l'équation de Laplace

OU 0 dy ou = Pere 0 p ne

0 9y Op 00 ne OVOZ

Dans le cas du courant à deux dimensions dépendant d’un potentiel, on peut donc dire qu’il existe deux fonctions o et b, telles que les lignes 9 — const. soient les lignes équipotentielles, et que Les lignes L — const. soient les lignes de courant. Ces systèmes de lignes forment un réseau orthogonal. Les fonctions ® et Y sont harmoniques conjuguées, @ +iv est une fonction analytique de la variable complexe

BRUT Ye.

Rappelons une propriété intéressante d’une fonction analy-

tique.

Si l’on pose (a) Z= f(&+iy)=/f(), la fonction Z peut s'écrire (6) Z=X(x,y)+iY(æ,), Fig. 18 4 Y (2) M Ÿ æ Le x

les fonctions X et YŸ étant réelles. À un point m (x, y) du plan de la variable 3, les relations précédentes font corres-

pondre un ou plusieurs points M(X, Y) du plan Z et inversement. Considérons en particulier un point m, où la dérivée

az : LE : S PE n'est ni nulle, ni infinie et un des points correspondants [474

que nous appellerons M,; si m se déplace de manière continue en partant de », dans une aire assez petite (a) entourant M, il existera un point unique M partant de M, et décrivant une fois et une seule une aire (A) entourant M, [propriété de la fonction analytique de z :

La transformation ponctuelle fait alors correspondre point par point les aires (a) et (A) en ce sens qu’à tout point » pris dans (a) correspond un seul point M de (A) et réciproquement. De plus, la représentation est conforme.

Si l’on connaît une forme d'écoulement dans le plan de la variable complexe Z — x + iy, on peut en déduire une forme correspondante d'écoulement dans le plan d’une autre va-

riable complexe

J étant une fonction analytique.

On sait former le potentiel d’un courant plan ayant une vitesse constante en grandeur et direction à l'infini, contournant un cylindre circulaire indéfini dont les génératrices sont normales au plan du courant et animé d’une circulation déterminée autour de cet obstacle.

Soit ce potentiel, Y la fonction de courant,

Posons

par la substitution

pr, Y)+iÿ(r, y)=8(2+iy)=g(2),

& est, comme on l’a vu, une fonction analytique de s. Choisissons une transformation analytique

L= fs) =X(S, y) +iY(x, Là)

et réciproquement a (0)

telle que le contour de l'obstacle du plan (2) soit transformé

dans le plan (Z) en un contour déterminé et qu’à l'infini on ait partout = À z,

À étant une grandeur réelle, finie et déterminée.

La substitution de Z à z dans la fonction analytique g(z) donne une fonction G(Z) analytique qui détermine le courant autour de l’obstacle considéré dans le plan de la variable Z :

G(Z)= G(X+iY)=p(X, Y)+ 54 (X, Y),

® et d sont le potentiel et la fonction de courant qui caractérisent ce nouvel écoulement.

Donnons un exemple de cette méthode excessivement féconde dans le domaine des apphcations:

1° Courant plan uniforme à l'infini et doué de circulation autour d’un cylindre circulaire.

Prenons la fonction suivante de la variable complexe Z :

k Fi=— V,3— -;

qui peut s’écrire CAR ROTE Ky Fi ir #% (Ve -2), d’où

VA gi= — Vox —k =

= Voy + k

Ce courant plan à potentiel est bien uniforme à l'infini, mais ne possède pas de circulation. Superposons-lui un courant doué de la seconde propriété et de vitesse nulle à l'infini. Il suffit de poser

Ki z FE — Id; u] peut s’écrire ap k0 ki 7 PDU dr d’où k0 Fer Ve de k 7 Na NOB

Le courant obtenu par la superposition des deux courants précédents et défini par

ÉBSEURE

PIE MARY AT DE Ky k0 À Y=i+be=— Vo) = FA Ge rss log —»

satisfait aux conditions du problème.

2° Choisissons la substitution

où f est bien une fonction analytique de la variable complexe z.

À l'infini de z

La région occupée par le fluide dans le plan 3, c’est-à-dire tout le plan z en dehors du cercle de rayon à, devient dans le plan Z tout l’espace indéfini autour du segment BA, en lequel la substitution opérée a transformé le cercle C.

La même substitution, opérée dans les fonctions o et 4 du courant déterminé ci-dessus, donnera les fonctions correspondantes pour l'écoulement autour du segment BA. Du Courant à potentiel autour d’un cylindre, la méthode de représentation conforme permet de passer directement au Courant autour d’une aile plane d'envergure infinie.

Nous ne développerons pas davantage cette théorie du mouvement permanent à deux dimensions d’un fluide autour

AY ñ CX) C7 G 7 > we AY (Z?) Ja

d’an profil d’aile, théorie à laquelle les travaux de Joukowski et Tchapliguine en Russie ont fourni une large et remarquable contribution.

8. Absence de traïnée. Adaptation de la théorie aux fluides réels. Résistance de profil. — Pour l'aile d’envergure infinie, le régime permanent étant établi, les réactions du fluide dénué de viscosité sur l’aile ne donnent lieu qu’à une portance. La traînée de la surface est nulle.

Comment donc mettre d’accord la théorie de ces surfaces avec l’expérience? En faisant intervenir la viscosité qui distingue les fluides réels, ceux sur lesquels nous expérimentons, des fluides parfaits de la théorie.

On peut réaliser approximativement un mouvement à deux dimensions autour d’un profil en expérimentant, dans un tunnel par exemple, un tronçon d'aile à profil constant placé entre deux cloisons parallèles à l’axe général du courant. Dans une telle expérience la traînée mesurée, admise comme représentant la traînée qu'éprouverait l'aile dans un courant réellement à deux dimensions du fluide réel des

essais, représente l'influence de la viscosité très faible du fluide ou, suivant les expressions employées par les auteurs, du frottement superficiel contre la surface, de la Skin-friction, de l’Hautreibung. Cette résistance est appelée « résistance de profil ».

C’est parce que la viscosité des fluides réels est très faible

‘qu'elle peut être négligée en première approximation dans la théorie du mouvement de ces fluides.

Admettons que la viscosité soit suffisamment faible pour qu’elle soit réellement négligeable partout où n’interviennent pas, soit une variation très rapide de la vitesse, soit une influence cumulative de la viscosité.

Admettons d'autre part, hypothèse qui ne fut pas toujours adoptée autrefois unanimement par les théoriciens de l'Hydrodynamique et qui paraît aujourd’hui justifiée, que dans un fluide visqueux les particules au contact d’un solide immergé adhèrent à ce solide. Supposons enfin qu’à une certaine distance de l’obstacle, le mouvement soit sensiblement ce qu'il serait pour le fluide parfait dans les mêmes conditions. Il faut alors regarder l'obstacle comme environné par une couche mince de fluide à l’intérieur de laquelle la vitesse croît très rapidement de zéro au contact de l'obstacle à la valeur de la vitesse du courant général à la périphérie de la couche. Par suite de cette variation rapide de vitesse, la viscosité intervient de facon sensible et le travail nécessaire pour communiquer aux tourbillons de cette couche l’énergie cinétique qu'ils possèdent, énergie ultérieurement dégradée en chaleur dans la masse fluide, représente le travail résistant de la traînée de la surface. Par contre, la portance ne se trouve pas altérée de façon notable par l'existence de cette couche tourbillonnaire enveloppant le corps puisque, à la périphérie de la couche, les pressions ont, comme les vitesses, sensiblement les mêmes valeurs que pour un fluide parfait. Ces pressions se transmettant presque sans altération à travers la couche à la surface du corps, il en est de même sur cette surface.

Bien entendu, comme la théorie même des surfaces portantes, les considérations précédentes ne sont valables que dans le domaine des formes de profils et des angles d'attaque usuels.