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(1) Ces généralités se trouvent développées dans tous les traités classiques. Voir en particulier les Leçons sur la Théorie des Tourbillons de H. VicraT (Paris, 1930) chap. HI.

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équations différentielles, qui nous donnent, à une constante additive près :

D—10#" Const M=H0S A CONSL avec les conditions :

Ô0Y mea ÔŸ 1 Ôg Or TE Up: OT

Je rappelle encore, pour éviter toute confusion, que si la disposition des axes est directe, c’est-à-dire si l’on peut amener OX en OY par une rotation

de ni a effectuée dans le sens inverse du mouvement des aiguilles d’une montre, on convient d'appeler lintensité d’un tourbillon positive, s’il engendre un mouvement de rotation de sens direct.

8. Ceci étant, voyons quelle est la vitesse induite par une file indéfinie de tourbillons, d'intensités + [. Si les coordonnées des tourbillons sont :

Zos Zo + L Z + 21,..... > 2) de

et si l’on désigne par z l’affixe d’un point quelconque du plan, extérieur aux tourbillons, la vitesse complexe totale U—iV en ce point s'écrit en vertu de l'équation (3) :

Cette série est divergente; mais si l’on admet qu'il y a autant de tour-

billons d’un côté que de l’autre, on peut grouper les termes deux à deux et Écrire:

RL | 2 (z Zo) 2 (z — z,) s | U—-iV OFF ER np ...- (4)

FT — Po (Ur 7. 1 = 5;; ©t RC Z0) (1)

ou encore, en remarquant que :

a Sin sin 2) COM Coco 26:

I Sin (& 20) :Sh AC —- yo)

(4 bis) AR Er 27 27 !

Ÿ cos @—2) Ch TG —

(4) Pour la démonstration de cette formule élémentaire, voir E. Goursar : Cours d'Analyse mathématique (Paris 5° édition) t. IT, p. 163.

On a finalement, en séparant les parties réelles et imaginaires :

| 2 | , Sh = ( — y) UE, ou cos . (x — x) — Ch F (y — Yo) (5) ‘ I sin . (x — x) | = 21 2 x 27%

| cos 7 (& — 25) — Ch 7 (Y — Yo) Le potentiel complexe / (z) d’un pareil système s'obtient par l'intégration de l'équation (4). On a :

I 3 (6) HE DEEE log sin . (z — 2) + constante,

formule qui nous sera très utile dans la suite.

Voyons quelles sont les conditions pour que deux files indéfinies de tourbillons À et B constituent un système permanent (fig. 31). Soit +I l’intensité des tourbillons de la file À et — I celle de la file B. La vitesse de déplacement d’un tourbillon quelconque de la file B est la somme de la contribution de tous les tourbillons À et de ceux-ci seulement, puisque les tourbillons de la file B donnent une résultante nulle. Introduisant les notations y —y,—h et æ— x, — 01, l'application des formules (5) nous donne pour les composantes ug et up de la vitesse de la file B :

2rh . I Sh Ï DR | ES cos 2x0 — Ch (7) d il sin 2 76 DRE SEC h

n ) cos 2x6 — Ch ——

Les vitesses correspondantes ua et va de la file A s’en déduisent par le changement de h en — h, + I en — I et 6 en — 8. Il est inutile de les écrire : on voil tout de suite que :

. HA Up (7 bis) VA — UB.

Le système ainsi conçu est done permanent en ce sens que la position relalive de tous ses éléments ne change pas. Mais il n’est plus permanent par rapport à l'obstacle qui engendre les tourbillons. Le mouvement transversal des tourbillons par rapport à ce dernier ne pourra disparaître que si l’on a :