VA = UB

+ PRE autrement dit si 0 vérifie la relation :

6 —=0 ou + (mod. 1).

On trouve ainsi que deux files rectilignes et indéfinies de tourbillons, régulièrement espacés, ayant des intensités + I et — I sur les deux files À et B respectivement, forment un système permanent el sans mouvement transversal par rapport à l’obstacle, si :

19 06 —0, c’est-à-dire si l’on a une double file symétrique;

20 0—--, correspondant à la double file alternée.

e 1. °- de EE — te B h h re Le e ®e - — —A sg: 16 = or, Lee Loe Fig. 31 Fig. 32

Pour toute autre valeur de 6, la rue de tourbillons se déplace perpendiculairement au mouvement de lobstacle. Quant à la vitesse longitudinale 4, elle ne s’annule que si l’on a : A —0. Supposant par contre À <0, on trouve :

pour 6 —0 DE Coth SE

8 ; 5 Ne TRE I TI rh pour — no LAES D

formules obtenues déjà par Th. von KarMAN (chap. I, loc. cit.). : < 1 Je suppose que 0 est égal à 0 ou TS: La composante v de la vilesse sera

alors nulle; quant à la composante longitudinale x, elle sera de même signe que le produit [.h. C’est pour cette raison que le système de deux files, composé de tourbillons de même signe + I sur toutes les deux files À et B ne pourra être un système permanent. En effet, comme on passe de À à B en changeant h en — h, tout en devant conserver cette fois + I, le produit IA et par conséquent u changerait de signe.

Un tel système de tourbillons a l’apparence d’être une conception artificielle; effectivement, il ne pourra pas être engendré par le moyen expérimental habiluel, de faire mouvoir un obstacle dans un fluide. On verra toutefois (chap. VI) que ce système est, théoriquement au moins, parfailement concevable, sinon dans un fluide libre, mais dans un canal rectiligne ou au voisinage d’une seule paroi solide. Dans de telles conditions, il pourra être permanent. Par conséquent son étude ne sera pas sans intérêt (voir chap. VI).

FQ — JO —

La méthode précédente pourra être appliquée à l'étude de la permanence d’un système de tourbillons, représenté par la figure 32, pour différentes valeurs du paramètre 0. Si je désigne par z, l’affixe d’un tourbillon quelconque d'intensité + I de la file À, on pourra écrire le potentiel complexe du système en un point quelconque d’affixe z :

sin a Cr a)einei@ = 0h) (9) Fe) I 21 21 Mr

cos 51C — Z9) COS 5j ( — 2 —01— hi)

el en déduire la vitesse complexe en un point z extérieur aux tourbillons, par la méthode classique. On trouve :

df ; 1} T T :

D=uio= pale 4 G— 2) + cot GE — 2 —01—hD

(9 bis) T T ° +eDE— D +8 G A0 à]

Evaluons alors la vitesse complexe w—u—iv d’un tourbillon + I et — I de la même file A. Les affixes de tels tourbillons étant congrus à z et z +1 (mod. 27) respectivement, nous aurons :

3 d Il il I 7 w DS im EE) 2 | ot Gr +R i)

— 1857 Cl+ n à]

(10) Gaec (T no = Re . = 1) Se M [cot 7 C1+ hi) Vu B5TO!+ h | Par conséquent w(+ [=—1w(— I); ïil en résulte la condition, non

suffisante il est vrai, mais nécessaire de la permanence :

ou explicitement :

g G,.h)= cot 57 CI+ hi) +tg57Gl+hi)=0.

D'ailleurs une transformation facile, appliquée à g (6, A) nous donne tout

de suile :

à ( F) Sin tT | 5 — Dre

4 9 6, h) — 5) ] Ch T- — cos 276

avec un dénominateur toujours différent de zéro el ayant un numérateur qui ne s’annule que si l’on a :

li Deeet = ( (mod. 1) ;

or la condition À — 0 est contraire à l'hypothèse d’avoir deux files de tourbillons distinctes.

Je n’examinerai pas les systèmes de deux files de tourbillons encore plus abstraits; je remarque simplement pour conclure, que lorsqu'on a deux files de tourbillons à périodicité longitudinale égale à Z, les seuls systèmes permanents (qui n’ont pas de vitesse transversale par rapport à l'obstacle) sont ceux pour lesquels tous les tourbillons d’une file ont le même signe, par exemple + I sur l’une et — I sur l’autre; en plus, il faut avoir :

1° ou 6—0, la file À étant alors l’image de B par rapport à une paroi recliligne fictive, placée au milieu entre A et B;

20 ou 0 — condition qui correspond au cas précédent, mais avec un

décalage longitudinal relatif d’une demi-période de A par rapport à B.

Tous les autres systèmes de deux files de tourbillons sont non-permanents.

A USER PMR PARC

PR en a

node A —

Fig. 33

4. L'’énumération de tous les systèmes permanents, formés de deux files, devient ainsi facile. Mais il serait aussi du plus haut intérêt à faire cette énumération pour un système de quatre files de tourbillons. L'importance de ce problème n’a pas besoin d'être justifiée; sa solution nous donnerait le moyen de concevoir tout l’ensemble des configurations permanentes, auxquelles on est conduit par le mouvement simultané de deux obstacles, aussi naturellement comme on obtient les deux systèmes fondamentaux possibles de deux files de tourbillons. On conçoit aussi que l’étude de la stabilité de ces « rues multiples » exige la solution préalable de ce problème d’énumération. Je ferai bien cette opération, mais je n’examinerai pas le problème de la stabilité: celui-ci fera l’objet d’un autre mémoire.

L'énumération en question est un problème d'analyse combinatoire. Je suppose d’abord que chaque file ne contient que des tourbillons de même signe, disposés à une distance consécutive égale partout à L. L'application du crilérium de la parité du produit I.h nous permet de prévoir l'égalité des vitesses

pue

longitudinales de À et A; d’une part, de B et B, d'autre part (fig. 33) et ceci entraîne la condition de permanence que voici :

L'ensemble A, et R, doit être l'image de À et B par rapport à une paroi ficlive rr’ ou son image décalée d’une demi-période longitudinale =.

Cette condition ne suffit pas. Il faut que les vitesses longitudinales de À et B soient les mêmes. Pour cela on peut montrer que la valeur absolue des

intensités des tourbillons ne peuvent pas rester les mêmes (voir chap. VI). Avant de déterminer le rapport des intensités sur les files À et B (qui est le

ADS = ® e A. =e, -@ Dre Der. @ = @ B=e =" QE "€" T TX! 7 x! B, Crei =® Be ee A A, © Q à Q Aie ei ee Fig. 34 (1) Fig. 34 (2) A <@ ® I À = r® ® ( ou B © C> C> B -e* @\ @ -@)-- 4 x" x LA B © Ce Re B, ARE ET A, © @\ eZ A, @ @ &\ É g. 34 (3) Fig. 34 (4)

même, bien entendu, que sur A, et B;), je remarque que la disposition relative des tourbillons sur À et B pourra être alternée ou symétrique; d'autre part à chacune de ces dispositions relatives peut correspondre une image À, et B, qui est elle-même alternée ou symétrique par rapport à À et B. Ce qui fait en tout quatre arrangements différents. Et comme les tourbillons des files À et B peuvent être de signes égaux ou opposés, on arrive en tout à huit arrangements différents possibles. Mais si l’on tient compte des conditions physiques suivant lesquelles les tourbillons prennent naissance, le cas des tourbillons de mêmes signes sur À et B doit être exclu de l’énuméralion. Par suite de cette restriction on. n'aura que quatre arrangements au total (fig. 34), (1), (2), (3) et (4).

On trouvera la détermination explicite du rapport des intensités sur les files À et B dans le chapitre VE qui formera la généralisation du problème de l'équilibre de deux files de tourbillons, au voisinage d’une seule paroi rectiligne indéfinie.