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que j'ai attaché à ce mot au chapitre précédent; quant au problème de la stabilité. qu'on aborde par la méthode classique « des peliles oscillations » autour d’une position d'équilibre, suppose aussi l’existence de celle position d'équilibre.

On voit donc que les deux problèmes fondamentaux des systèmes de tourbillons ne peuvent même pas être abordés par les méthodes classiques, lorsque a <0. Faut-il alors renoncer à les étudier ? Il est certain que l'existence d’un système de tourbillons, pratiquement permanent dans toutes les positions dans un canal et en particulier pour a 0, est expérimentalement établie. Cette constalalion m’amène à poser les deux questions suivantes :

19 Etant donné un système de tourbillons dans un canal rectiligne, placé dans une position autre que celle de l’équilibre, quel sera le mouvement ultérieur résultant de celte position initiale ? En particulier pour une valeur finie quelconque de a, le système aura-t-il toujours la {endance à venir occuper sa position d'équilibre ?

20 Peut-on faire une hypothèse physiquement raisonnable, capable d’expliquer la permanence (constatée expérimentalement) des tourbillons pour a <0 ?

Les mêmes questions peuvent être posées bien entendu au sujel des tourbillons alternés dans un fluide, limité par une seule paroi.

Je donnerai la réponse à ces questions par l'étude systématique qui suit. Quant à l’application des résultats oblenus, aux problèmes de la résistance et de la stabilité, je les laisse provisoirement de côté, élant décidé d’ailleurs à les publier bientôt dans un autre mémoire.

2. Voyons d’abord comment on détermine le potentiel complexe d’une file indéfinie de tourbillons, placée entre deux parois rectilignes (fig. 35). Considérons un canal dont les parois, rapportées aux axes de coordonnées X’O’Y’ sont 4x’—0 el x’—w, el imaginons une file indéfinie de tourbillons, régulièrement espacés, d’intensités + I.

Je suppose que les tourbillons ont des affixes congrus à 7, (mod. 2w;), w; élant une quantité positive purement imaginaire. On sait que l'effet des parois solides peut être assimilé à l’action d'un système de tourbillons fictifs, placés à l'extérieur du canal et déduits des tourbillons donnés par l’application du principe des images. En faisant intervenir ces tourbillons virtuels, je suppose que le fluide est illimité dans tous les sens. Un tourbillon d'intensité + I et d’affixe 7, donne lieu ainsi à un système de tourbillons d’intensités + I, d’affixes congrus à 7, (mod. 2w,), plus un système complémeniaire d’intensités — L d’affixes congrus à — 7, (mod. 2w,;) (1); et comme j'ai toute une file de tourbillons dans le canal, en appliquant à cet ensemble le principe des images, j'arrive, au lotal, à une double infinité de lourbillons, couvrant tout le plan complexe. J’aurai :

1° des tourbillons + IT aux points congrus à 7, (mod. 2w,, 2w;):

2° des tourbillons — I aux points congrus à — 7°, (mod. 2w,, 2).

a () z', est la valeur complexe conjuguée de z’,; dans la suite je désignerai toujours de cette façon les quantités complexes conjuguées.

ice

Cette double périodicité (de périodes 2w, et 2w,) de la distribution des tourbillons dans le plan, fait penser que le potentiel complexe pourra être exprimé par des fonctions elliptiques. On verra effectivement que leur introduction sera d'une grande utilité et j'en ferai constamment usage. Les notations à leur sujet variant d’un traité à l’autre, ce qui pourrait donner lieu à des confusions, je me conformerai aux notations employées par TANNERY et Morxk dans leur traité classique (1). Les formules contenues dans ce traité ont d’ailleurs un système de numérolage commode, qui permel de s’y reconnaître facilement; pour abréger l'écriture, je me contenterai très souvent de ne citer que le numéro des formules. Ainsi « TANNERY-Mozk XXXI-5 » par exemple voudra dire: « Cinquième formule du groupe XXXI du traité de TANNERY et Morxk ».

Nous avons vu (équation 6 du chapitre précédent) que le potentiel complexe d’une file rectiligne de tourbillons, régulièrement espacés, de distances conséculives égales à 2v, est :

Dix log sin du, (z'— 25),

où 7, est l’affixe d’un tourbillon et z’ l’affixe d’un point quelconque du plan, extérieur aux lourbillons. Si on ajoute à cette expression le potentiel :

I 2 T ! FA | Ee log sin So (z'+ Z5),

correspondant aux tourbillons — I, d’affixes congrus à — 7, (mod. 2v,), on obtient comme résultat le potentiel /, (z’) d’un seul tourbillon + I, d’affixe Z'« placé entre les deux parois x = 0 et x’ =w, d’un canal; on aura :

() = hG)—=,E los

Si l’on tient comple maintenant de lous les autres lourbillons dans le canal, qu'on déduit du précédent par laddition de multiples entiers de 2v, à l’affixe 7°, le résultat de celte composilion conduira au potentiel complexe :

I sin Ja, (z'— 75 —2 mo) hi NZ GE log prod(m) = ee) CRE; sin ne (z'+ 7 — 2m)

où le symbole prod veut dire qu'il faut faire le produit de lous les lermes à (m)

() Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, 4 vol. Paris. (‘) Nous employons pour des raisons typographiques, le symbole « prod » à la place du symbole IT utilisé habituellement.

indice m enlier, allant de m——oo à m—-+00. On peut écrire aussi : LÉ \ sin? 5 — (2 — 7 Jo Ro FE e T ! ! Q T SE a C0 Sin? — 63 M ï , 1l 2 w, ÿ MI CN O7 : ; CI, 108 prod :

DAT : RE Le ; e sin (z' + 279 sin? (z'+ 7) (or ( 1e 5 T Sin? — w3. M (0)

Fig. 35 Fig. 36

ou encore, en se rappelant la formule (TANNERY-MoLk X-1) de la fonction 3, construite avec les périodes 2, et 2v, :

: T N mu? Sin?

FT —> 9, : net D | M=—=> À 04 5 Ce PC U—=SIRS-- prod D; 2 w, À y = 1 to dE SIN? — w M ay 3 Ÿ avec :

=> r? 1 Il

É ÿin , n=1 SIN? — w3 1 (On *

As I T , = ; se ART RO GR EE EE + Po 0 Go + 89 +08 EE 1 s(z'+ 70)

es —

et finalement, en s'appuyant sur les relations qui lient les fonctions s aux fonctions % (TANNERY-Mozx, XXX-5) :

9 ul )

CU 12104 etats

on peut écrire l'expression particulièrement simple :

@) h@=S en,

2 1x re TA É.

Je fais maintenant le changement de coordonnées X'O'Y’ en XOY (19. 35 )TOU :