O7 A LÉ

moyennant quoi les parois du canal seront données par z—— tr — + Le la formule (2) devient :

Eve nr ÿ ? ÿ ?

OR x 4e) (3) MOTO A log 12, É 9 Zz +7 Me : 9 ZE 29 1 2 oO} 2 2 2 (O7

puisqu'on a par définition :

Imaginons alors deux files À et B de tourbillons alternés (fig. 36) et soient :

z l’affixe d’un tourbillon de la file B, d'intensité — I; et z—AR+o; l’affixe d’un tourbillon de la file À, d'intensité + I.

Le potentiel complexe d’un tel système s'écrit en vertu de {3) :

LAS Z = 29 Eh — 0, o,( D) o)y | L ( 2 oy

(4) MED 5x log -

O , ns AN +2, — R —0, 2 [O7] ? 2 oo!

ou encore, en tenant compte des formules (TANNERY-Morx, XXXIV-6) :

| Ÿ, (o — 3) nr RARE Ÿ, (v)

Te 1 :

| do (o == 5) haie 9 (0)

avec :

(4 bis) CO À x log

à une constante additive complexe près, sans importance.

8. Pour avoir les conditions de permanence du système, cherchons la vitesse des tourbillons de la file À et B. On a d'abord, par dérivation, la vitesse complexe :

d ; I À | ui TAG +7 —2G— 2)

(5) ( FZG—-7%+h)—2Z(+2—h)

dans laquelle j'ai fait usage des notations abrégées (1) :

| AO EE = [log s, (+)] (5 bis) Z. (&)=t a = 9 )| (« — 1,2 ou 3) « (0) = 4 u — ri du 1108 +1 GER : — 1, ‘

permettant d'obtenir la vitesse d’un tourbillon quelconque. On sait que pour calculer la vitesse complexe en un point tourbillonnaire 2,, il suffit de supprimer

d ; À ; : Re dans (S) le terme qui provient de ce tourbillon même, c’est-à-dire le terme A Il 1

D de On a ainsi pour la vitesse complexe de la file B : AE #0

2 (u — iv} = lim [+ er + —;| (6) CR RE.

= 24 (Go + 20) + Z3 (R) — Zo (Zo + 70 — À);

et une formule analogue pour la vitesse complexe de la file A :

j NE 2 ir df 1 œ \ Tél Re

| = 2 Er + 0h +0) 2h40) JE 7, GEAR

Ë ae mi : , F. Pour expliquer l’origine du terme — CRE rappelons que si la disposition Lé ° 1 des axes de coordonnées est directe, on a :

"4 da LE: 04 ee LÉ

() Ces notations ne se trouvent pas dans le traité de TANNERY-Morx,

NC ce qui nous permet de déduire par un passage à la limite :

(8) im [25 Co + 91] = Guam 0) = 5

0 € 2 wy°

On a de même, en se rappelant la définilion de : Ca U = C (U + we) — vx (a = 1,2 ou 3)

(TFANNERY-Mozx, XII-5) :

M ce.

(9) ( Z, (— u) = — Z, (nu),

ce qui nous donne sans peine les trois formules :

| | (OU ZL, @ + 63) = Ze (0) — — (ny w3 — 3 41) = Ze (u) — 2 u Op 1 ri | Lo (U + w3) — Zy (u) — G. Cry 3 — 2 4) = Zi (u) — 1

qui nous serons très utiles bientôt.

Ainsi, on peut mettre l'équation (7) sous la forme :

(7 bis) = (u — iv)a = Zo (z9 + 20 — À) — Z3 (h) — 2, Go + Zo — 2 h).

Soit maintenant x —a la ligne médiane des files A et B; on a lout de suite (fig. 36) en tenant compte des formules évidentes :

h ie

| LT (a — iv) = 2, @a<+h) + Z3(h) — Zo (2 à) Gi) Eu ne — iv) = — 2, (2 a — h) + Z;(h) + 2 (2 a),

formules dont la seconde se déduit de la première en changeant + I en — I'et h en — h. Si on développe les seconds membres de (11), en tenant compte de (9), on trouve :

pee

et d’une façon analogue pour (4 —iv)A:

: ne LE Qui =—t@a—h+o)—t(h+o)+t@a—e)— TR,

qui permettent de trouver explicitement ua, up, va et vp, à condition de séparer dans les seconds membres, les parties réelles et imaginaires. Pour cela on n'a qu'à appliquer la formule d’addition de & :

;l res / CG+D—tenre = TETE

aux fonctions € (h+w,), C(2a—w,), etc. On trouve ainsi les deux équations :

2 (a — it @a+h+o)+th—t@ a+ 0) Dane 2 PCR CCE) : Qu 9 She 0 pare) (12) sé 2x u—ivh =—{t2a—-h+o)+ith+ Q@a+u,) 2 RS Tapas) \ OR TE pee M iDinÉ Eee re

dont les seconds membres sont des quantités réelles, égales respectivement à 2% 2 7 ue TT VE él y VA; quant aux composantes u, elles sont visiblement nulles :