LA UR —1(Ù
La vitesse transversale des files de tourbillons est nulle. Mais pour que le système constitue effectivement une configuration permanente, il faut que les files À et B soient en équilibre relatif complet. La première condition pour cela ua — up = 0 est remplie. Voyons s’il en est de même de la seconde, concernant les vitesses longitudinales v.
Les formules (12) nous donnent après soustraction, l'expression :
a — 0) = — 1 (2 a +h+o)—{@a—h+o,) +26(2a + «w) LE P’ (2 A 07) p@a+o)—es qui se simplifie encore par l'application de la formule d’addition de la fonction € (TANNERY-MoLx, CIIT-1) :
t (a YF) TGS) ACCES PE | pa—pf et nous donne :
4 2T l 1 1 13 Ti AM = re 1) ( ) il (DA vB) P (2 a + 1) [= HE P (2 a re wi) À P (2 a Ev ©) PE =
Or pour que les files À et B soient à l’intérieur du canal, il faut que l’on ait :
R<+2a + uw,.
ne en résulte que ph > p(2a + w,). Et comme 2a + w, est réel, p@a+w,)=e,, l'égalité se rapportant au cas où l’on aurait a — 0; d’où a fortiori p (2a + wÿ) > ex.
Le crochet de (13) est donc une quantité posilive qui ne deviendrait infinie que si l’on supposait À —+2a—+w,, autrement dit que si l’une des files coincidait avec une paroi; hypothèse qui doit être écartée a priori. Quant à la quantité p°(2a+w,), elle ne peut s’annuler pour «a réel que si a —0.
Concluons : pour qu'un système de tourbillons alternés soit en équilibre dans un canal, ou en d’autres termes pour que la vilesse transversale absolue el la vitesse longitudinale relative des files À et B s’annulent à la fois, il faut et il suffit que a —0, autrement dit que la ligne médiane des files coincide avec l’axe de symétrie du canal.
Cette position d'équilibre est unique, comme le montre très nettement la formule (13). Mais il serait tout à fait prématuré d'en conclure — par intuition — que si un tel système de tourbillons se trouve dans une position initiale autre que a=ay=0, les tourbillons doivent avoir la tendance à revenir vers l’axe de symétrie du canal, uniquement parce que c’est leur seule position d'équilibre (1). Une différence fondamentale se présente ici lorsque &, est fini, par rapport aux résultats obtenus à partir des « petites oscillations ». Si on se bornait en effet à des oscillations infiniment petites autour d’une position d'équilibre, la discussion des équations différentielles du mouvement nous donnerait soit une période oscillatoire réelle et dans ce cas on dirait que le mouvement est stable, soit une période imaginaire correspondant à un mouvement instable. Mais il en est autrement dans le cas des oscillations d'amplitude finie. Je vais montrer un peu plus loin que les tourbillons alternés peuvent osciller autour de positions, autres que la position d'équilibre a—0, pourvu que ces oscillations ne soient pas infiniment petites.
Pour pouvoir traiter ce problème, j'appliquerai une méthode tout à fait opposée à la façon habituelle de procéder qui consisterait à chercher des solutions particulières périodiques et sinusoïdales des équations différentielles du mouvement. Ce dernier procédé a rendu de grands services et a permis notamment de trouver les critériums de stabilité des tourbillons dans un fluide limité ou en fluide libre. Cependant lorsque les oscillations ne sont plus infiniment petites, même le caractère sinusoïdal du mouvement disparaît et dès lors il serait erroné de leur imposer artificiellement la nature des trajectoires et le caractère cinématique précis du mouvement.
4, Je remarque que lorsque a <0, les tourbillons À et B ont la fendance à subir un décalage longitudinal relatif, tel par exemple qu'on voit sur la
(1) Voir à ce sujet L. RoseNHEAD, Proceedings of the Cambridge Phil. Soc., tome 25, 1929, p. 271%
Ne
figure 37. En plus de la demi-équidistance w,, on a ici un décalage longitudinal relatif égal à 20w,. Nous savons jusqu'à présent que le mouvement ultérieur, résultant de la condition iniliale a=4a<0 Se manifestera par une variation de 0 à partir de la valeur initiale égale à zéro. Mais qu'arrivera-t-il lorsqu'on aura 0 -< 0? Visiblement le mouvement le plus général du système des tourbillons ne peut affecter que les paramètres a, h et 6, c’est-à-dire les paramètres qui caractérisent la position relative des files par rapport aux parois et par rapport à elles-mêmes, sans faire intervenir les tourbillons individuellement. Si on réussit alors à trouver une équation différentielle entre ces trois paramètres a, h et 4, l'intégration éventuelle de l'équation du mouvement nous permettra de discuter la variation de ces trois paramètres.
Reprenons l'étude faite précédemment et prenons comme point de départ la recherche du potentiel complexe correspondant aux valeurs non nulles des paramètres a, h et 6. Si je désigne comme tout à l'heure par :
z l’affixe d’un tourbillon — I de la file B,
et Zzo — À + (1 + 28)w, l’affixe d’un tourbillon + I de la file A,
Pts ar on écrit le potentiel complexe de la même manière que (4). On a :
de (£ 2 9, (£ — Z+h—(1+26) =)
Ge (EU)
ou encore, en tenant compte des formules XXXIV-6 de TANNERY-MoLk, déjà
citées :
| 9 (£ EX) s ) 2 D] ; k Je (14) LD = 55 log — 1 re :
ñ s 20) Les 2 u)y ù) ») w
f dd à 1 ac tor 1 sa 24 à 1:
formule qui n’est déterminée qu'à une constante additive complexe près.
tre
D'autre part, la vitesse complexe en un point z, extérieur aux tourbillons sera, en vertu des formules (5 bis) :
df ! I = LA DU GE 2) EL CR 0) 2% (eg —R— 20 0)
ce qui donnera, d’une façon analogue aux équations (6) et (7), la vitesse complexe des files À et B. Celles-ci s’écrivent respectivement :
| = Cu — iv}e = 2 (0 + 29) + Zs ( — 20 04)
(5) — ln 2h 20)
| ER nr AC hou) Ant A 200) — Z, (o + Z9 — 2 h).
Je pose encore :
et j'écris les équations (15) avec les nouvelles variables :
| LT (u — iv) = 2, Ga+h)+2,;(h—260;) —Z(@a—26 3), (15 bis) Fe | LG — iv)a = — 23 (Ch + 20 03) + Z (2 à + 20 05) — Zi (2 a — h),
dont la seconde n’est autre que la transformée de la première, en posant — I, — h et — 0 à la place de + I, + À et + 6.
Les formules (9) qui lient les fonctions Z, à la fonction € äe Weierstrass, permettent de mettre (15 bis) sous la forme :
/ LT Qu — io = t Ga + h+ 0) + Eh + —20) 0) — Ga + +209) 07) — TER,
LT (u—a=—t@a—h + wo) — EC (— h + (1 + 2 6) W4)
| +iCata+A+29e)—T TR,
forme très utile, parce qu’elle nous donne le moyen de séparer les parties réelles et imaginaires des seconds membres. Il suffit pour cela de se rappeler que o;
est purement imaginaire el de décomposer les fonctions £ où vw, intervient, suivant la formule d'addition de 6. On trouve ainsi sans peine :
fes 2 * LE (a — io) = € @ a + h + 0) + Eh —E@ a + w)— = h
7 Ana ph=p{i—26%e 2 pCa+uw)—p({i—26)e | 2
LE (u — iv) = —t@a—h Low) +th+L(Ca +) — de Ë
I PERS PIE 2) ee mIRC pPA+26)o; 2 ph—p(1+206)o 2 pCa+k+o)—p(l+20t)o;
et on effectue à partir de ces équations-ci la séparation des parties réelles el imaginaires. Les vitesses cherchées des files À et B s’écrivent alors :
L 4x 4x {ue L TU —=Tu=EpA+20 0% É: op (le 20)
DDC) =
nt @a A Le)tth CO) 1 (O7 Ne mots Léa) 2ph—p(1+20)o; 2p@2a+o))— p(i +20), ° DUT 2 ur T = {CG a—h+o)+{thR+iCa + &4) — . h ss 1 p'A 1 p@a+uw,)
\ D php ADe SpOd Lo) = ATCDES
La première conséquence à tirer concerne les vitesses transversales ua et up. Elles sont égales, quelle que soit la valeur de 6. Si 6 est nul, on a vu que les vitesses transversales sont nulles; si par contre 80 <0, on aura, en vertu de la première équation (17), des vilesses transversales différentes de zéro, mais égales sur les deux files. Conséquence : pendant le mouvement des tourbillons, la largeur h de la rue ne change pas. C’est pour cela que je pose tout de suite :
R — constante.
Les valeurs individuelles de la vitesse longitudinale v4 et vp des files A et B ne nous intéressent pas. Mais il est important de connaître la vitesse longitudinale relative va — vs. Nous avons, à partir des deux dernières équations DENGUTE
1 Ga —vB) = —{Ca+h+o)—{(@a—h +) +26 (a + v,)
: pa +) PCA +0) — p (A +20) w4
Se ou encore, en appliquant la formule CIIT-1 de TANNERY-MoIx :
p'« pa — pl
C(a+B)+T(a—B)—2ta—
avec a—=2a—+u, et 8 —h :
{ 27 + 1 \ [TN (LA — UB) = P (2 a + y) a Res P @ à se %1) (18) ee \ P (2 a + wi) = P (1 + 2 0) (Op: À Le crochet du second membre étant toujours positif, va — vp sera de
même signe que p (24a-—+w,), c’est-à-dire posilif si a est positif et inversement. 5. La discussion cinématique de la première équation de (17) et (18) sera grandement facilitée par lartifice qui consiste à éliminer le paramètre {emps et tâcher de trouver une définition géométrique de la courbe (a, 6). Cet artifice n'offre pas de difficultés. On-se rappelle que A = const. ; quant aux deux autres paramètres a et 6, l’examen de la figure 37 permet de les relier à la vilesse. On est amené ainsi à poser tout naturellement :
re da Ua = UB — 7; ( ) 2 63 do UA — DUB —= —— 1:
et à éliminer dt entre (17), (18) et (19). On arrive à l'équation différentielle, particulièrement simple :
20 2 p(2a + w,) da 203.p'(1+20)o3.d0 0 (eo) [ph—=p2a+o,)f [ph—-p(A+26)o} ”
dont l'intégration est immédiate. L'intégrale générale s'écrit :
1 1 a OO
ou encore, si l’on remplace la constante d'intégration C par les conditions initiales :
1 1 1 1 (21) ph—p@a+te) ph—-p(+26)e; ph—p(2040 +1) ph—e,°
J'ai obtenu ainsi l'intégrale du mouvement relatif des files A et B, en fonction de leur mouvement transversal dans le canal. Et ceci en supposant que ces mouvements sont finis. La discussion des équations (17) à Cal)Sesteires
