ONE

instructive. Portons d’abord notre attention sur (17) et (18). Le crochet de (17) est négatif et ne s’annule jamais. Sa valeur :

pea+ow)—ph [ph — p ( + 26) es] [p @ a + eo) — p (À + 2 0) w3|

a un dénominateur visiblement positif et un numérateur négatif, puisque la condition :

h—w <2a< wy—h

exprimant le fait que les files À et B se trouvent effectivement dans le canal, nous donne nécessairement :

ph> p (2 a + w).

Quant au crochet de (18), il est positif, sans jamais s’annuler. Si je ; : dô à , considère maintenant l'équation (19), je vois que TT est de même signe que p(24a+w;), c’est-à-dire de même signe que a

0 croît si a > 0 et décroît si a < 0.

La variation de a peut être déduite à son tour de (17) ou de (20). On a

da vu que le crochet de (17) était négatif. Donc en vertu de (9), 7 F SSt de signe

. 1 : ; ROUE 1 ; opposé à celui de re p (1420), qui est réel et positif si n<0<n+ DÉ réel

Dre 1 : n et négatif si ICÉEES NEUTRE EEE nul Si 0—,

quelconque. Par conséquent, si l’on part des valeurs initiales a—a,-0 et

n étant un nombre entier

—0,—0, 8 croît et tant qu'il n'aura pas atteint la valeur D) (si jamais il en da net Fe sera ainsi), On aura PTS < 0, c’est-à-dire a sera décroissant. La conclusion est

: Al s :

inverse si — <P< 1 (Sil:y a Lieu).

a décroît si n<0< n+ et croît si n + = 0 n-+ 1, n étant un nombre entier quelconque.

Deux mouvements essentiellement différents doivent alors être distingués, suivant que 0 pourra ou ne pourra pas atteindre > en valeur absolue à partir de 0=0, —=0'et a= a > 0.

Re col ;

19 6 restant inférieur à z en valeur absolue, «a sera décroissant et atteindra la valeur zéro. Pour qu'il en soit autrement, il faudrait en effet, vue la continuité de la courbe (a, 0), donnée par (21), que la dérivée . s’ahnule et redevienne positive pour une valeur a positive ; or pareille éventualité ne pourrait avoir lieu que si l’on avait + P' (1 +2 6)0; — 0, autrement dit que pour | 6 | — 2

ce qui serait contraire à l’hypothèse.

: 1 Soit 0 —0, <-- la valeur de 6, correspondant à a — 0: Pour la valeur zéro

d de a, on a en vertu de (18) et (19) 7 — 0er << 0. a devenant alors négatif,

: 2 dô x ; fl

fera changer le signe de > © même lemps que celui de p'(2 a + w,); Ti Sera ainsi négative, lant que a restera négatif. Or si 0 diminue, il en sera de même da e a |quien diminuant, passe par la valeur zéro pour 8 — 0 et devient positive sitôt que 0<0. | a| sera décroissante et s’annulera pour 0——6,, en vertu de

se “ : SL ee ; l'équation (21). a redevenant positif, di à positive, donc 6 croissant et on aura de nouveau a—@, pour 8—0. EL ainsi de suite.

La courbe (a, 8) aura l’aspect d’un ovale, parcouru en sens direct (fig. 38). Je désignerai ce mouvement par mouvement M.

c 2 à : : 1 2° Si 6, augmentant au début, à partir de 8—0, atteint la valeur TZ avant

er + Hat que a ne s’annule, a ne s'annulera jamais. En effet comme la dérivée I De

t da

s'annule que pour 8 — TS (n—entier) qui sont des racines simples en 6 de re ie 2-1 re 1

la dérivée — sera positive pour 0<8< - et négative pour The 0<Z1 (mod. 1)

dt Es : me 1 . a dô si toutefois 0 pourra dépasser la valeur DÉ Or il est facile de montrer que SF

sera {oujours positive, puisque le signe de cette dernière est le même que celui «y

de p'(2a+w,); et p'(2a—+w,) est positif puisqu'on a certainement 0 <a < D:

La courbe (a, 8) correspondant à ce cas aura un aspect sinusoïdal, et sera parcourue dans le sens des 0 croissants. Je désignerai ce mouvement par mouvement M' (fig. 38).

Tout revient maintenant à savoir quelles conditions donneront lieu à un mouvement M et quelles autres à un mouvement M’. Soit la condition initiale

& = &@e et 0, —0 correspondant à une courbe telle que 8 — np] correspondant à a—0 soit un de ses points. Je dis que a, —ac. est une valeur critique des conditions iniliales.

1 ; Exprimons en effet que le fait que a—0 et 0 — 5 est un des points de la

courbe critique. L’équation (21) nous donne :

1 1 1 ph—p@a+uo) ph—e, tee ou :

@Rÿ — ee (22) p @ & + os rem

Cherchons d'autre part la condition pour que léquation (21) admette une solution réelle de 8 pour a—0, autrement dit pour que la courbe (a, 0) coupe l’axe a — 0 en un point réel.

Si l’on a a—0, (21) devient :

1 1 1 1 pPh—e ph—pA+209 ph—p@a+e) ph—e"

Or si 0 est réel et différent de 0 et ns , l'expression : 1 nl 1 1 PR—pP(+26)u ph— es Es Ph—e; ph—p (2 a; + w,) 1 1

= PR—p@a +) ph— P (2 &j + wi)

CRT es doit être positive et finie, autrement dit il faudra que l’on ait :

PC ae + 0) > p @ à + 0) OU :

0 < ay < ac.

Cette condition pour avoir un mouvement M est suffisante, car si l’on

suppose ÿ — TZ On a en vertu des équations (21) et (22) :

1 1 1 1 Ph—p@a+o) ph—-p@at+to) ph—e ph—p@Aa+u) ETS PR rt et rt

ph—p(@2ac+u) T ph—e,

permettant de conclure à l'existence d’une solution réelle en a;<0 (mouvement M') si p(2a+w,)—e,;, toutes les fois que l’on aura : P @ & + wy) > p (2 à + wy) c’est-à-dire pour :

os h

DER es ee

En résumé, étant donnée üne valeur critique a de a, solution de l’équa- Bon (22%

Si do de et 0, —0, on aura un mouvement (a, 8) de genre M;

Si do >@ce et 0 —0, le mouvement (a, 8) sera de genre M’.

pour a —a@,. Cette configuration initiale n’est autre que la double file symétrique.

G. Il faut encore examiner le cas où les conditions initiales seraient 8, —

1 , Fe va Comme 6, — Di correspond à une valeur &, positive de «a, on est certain d’avoir toujours un mouvement de genre M, à condition bien entendu qu’un tel mouvement soit possible. Il faut pour cela que la file B (la plus proche des parois) ait - . L4 - x (0) .

toujours une abscisse inférieure à re , Où encore que le maximum de a corres- 3 ; : oy — À pondant à 0—n—entier, ne dépasse pas Fo Ecrivant pour cela l'intégrale générale de (20) avec les nouvelles condiions initiales :

1 1 " l ph—p@a+e) p hR—p(+269u ph—p(24a; + w;)’

(OP h : 1 Fr < , , SEE et exprimant d'autre part Que Amax < 5» la valeur a de a, s’en déduira

par la condition ph > p (2 Amax + w,) (avec 0—n); par conséquent si lon pose :

(24) p@ae+w)=2ph—e,

rie

on aura une seconde valeur critique a’. de &, donnée par (24) telle que :

si 4 <d'e, On aura un mouvement de genre M, si dde, aucun mouvement permanent nest possible, parce que les tourbillons percuteront les parois au cours de leur mouvement.

7. Cette valeur critique a. est moins importante que la première ae. Cette dernière nous montre que si les tourbillons alternés se trouvent écartés de leur seule position d'équilibre (a—0) dans le canal, ils ont la tendance à y revenir si d@<@; par contre, ils n’y reviendront plus si l’on a & >@, c’est-à-dire si on les a trop écartés de leur position d'équilibre. D'autre part, on vient de voir que si & > &, les tourbillons alternés constituent un système mécanique, capable d’osciller autour de certaines positions qui ne sont pas de positions d'équilibre. La différence la plus intéressante entre les deux mouvements M et M est la grandeur de l’amplitude de l’oscillation transversale. Si a, <@e, amplitude du mouvement transversal est &, qui est finie ou infiniment petite, tandis que si

d > de, elle est égale à ca (4 — 4) où à, est solution de l'équation :

1 1 1 Php) ae pienp Cay+oy) ph—e

el aura par conséquent toujours une valeur finie.

Remarquons cependant que le mouvement M’ n'est pas une oscillation proprement dite. Dans ce cas en effet, tout en ayant une oscillation transversale dans le canal par rapport au paramètre a, 8 est une fonction constamment croissante et chaque période de a aura comme résultat de faire avancer la file A par rapport à B d’une période longitudinale 2w,. Si on retrouve tout de même, après une période oscillatoire, état initial du système, ceci tient uniquement au fait qu'il y a une infinité de tourbillons sur les files A et B.

c , da 2 wa dû De 47 La connaissance des vitesses 4h et Tr grue suffit pour caractériser la

nature du mouvement des files À et B. L’accélération n’est pas utile. Je l'indique tout de même sans discuter sa variation. Elle s'écrit :

Sr. d RP Ca+ 0) —p( +290

= 5 y! 2 p° (el +2 6) Re =—p@at+o)|r a AU er men (25)

a æ 6 plPGa+o)—pA +292

= 1) s\ 2p° CRE) = — p' (1 +20) w [: Ga +) + ne cou

et sa connaissance pourra être ulile dans d’autres recherches, qui n'ont pas pu trouver de place dans ce mémoire.

8. Un cas particulier intéressant est celui où les deux files de tourbillons A et B, d’intensités + I et — I sont confondues au début, c’est-à-dire lorsqu'on a

h=—0. La recherche du mouvement ultérieur se fait d’une façon analogue au procédé décrit au début de ce chapitre. Sans indiquer les calculs intermédiaires qui ne constituent pas une nouveauté, j'écris simplement les résultats. Je montrerai notamment que la largeur de la rue (qui est nulle) sera encore conservée au cours du mouvement. Introduisant en effet un écart longitudinal relatif 2 0w, des deux files À et B, initialement égal à zéro, et gardant toutes les notations précédemment employées, on trouve un potentiel complexe :

es Z = 2 (] ») Et er Fa) (Er = (26) PC) = 9 ir log (° + «) a —)() %) É see < 2 w 2 œ)4

on a d'autre part, par quelques calculs faciles, les vitesses complexes :

0) [LG (2 a — 2 063 — 69) — C (2 a + wo) — (1 — 29) w;]

Le pCa+oe)—p(Ai—26) Air p (2a+o)—p (1—26)e;

(27) G@— iv 351 a + 200 — 0) + 12 a + 4) + EI + 26) wo | | I pOa+o)—p'(1 +26);

Airp Ca+o)—p (+20);

ou encore, en séparant les parties réelles el imaginaires :

as hein HN) RRe \ He pCa+oy)—p(A +26); (28) Re OL M rt) DUR 7 pCa+uwy)—p(A +26) 03 On voit bien que :

Je pose encore :

(29) Dm Eee EEE et HTC 7

et j'élimine le temps dt entre (28) et (29), ce qui me conduit à l'équation ditfé-

rentielle :

4 ri p(2a + 04) — p(1+20)o; Il p'A +20)o;,

< 2r pa + bee tr

RE RP CCD Pa

dt da

dont l'intégration est immédiate. L'intégrale s'écrit : (80) pCa+e)—p( +26) 0; =p(@ 00 +1) — 6; après avoir remplacé le second membre par sa valeur déduite des données initiales a — a, et 8, = 0.

Le maximum de 6, correspondant à a —0 étant solution de l'équation :

PO + 2 6max) 63 = € + 63 — p (2 @o + wi) et comme on a certainement pour @ réel 6, — p (24, +w,) <0, on trouve : P (1 + 2 Ümax) Wa ere es

, 1 ce qui entraîne Ümax < %, COndilion toujours remplie. Par conséquent le mouvement de genre M est toujours possible et ce n'est que celui-ci qui est possible.

. . . 1 . . . (07 On voit d’ailleurs que pour avoir 6max = %, il faudrait que l'on ait & =,

autrement dit que les tourbillons coïncident au début avec la paroi tie

canal, ce qui est évidemment impossible.

9. Parmi ces mouvements d'amplitude finie dans le canal, il y en a encore un, qui mérite d’être signalé. C’est le cas d’une rangée unique de tourbillons, de même intensité + I, d’abscisse initiale x —a,. Pour plus de généralité je suppose que les tourbillons ayant un rang de même parité ont un décalage longitudinal relatif 260w, par rapport aux autres. J’apellerai ua — iva la vitesse complexe des tourbillons de rang impair (ou pair) et up — ivs celle des tourbillons de rang pair (ou impair). À l'instant initial, tous ces tourbillons se trouvent sur une file confondue, d’abscisse & et je suppose d'autre part qu'à un instant ultérieur

; =. : : R ; déterminé, les tourbillons À et B ont une abscisse a — -- et a + T respectivement. Je n'écris pas le potentiel complexe qu’on obtient par la méthode indiquée plusieurs fois; je me contente de reproduire les calculs, à partir de l'évaluation des vitesses. On a de différences essentielles par rapport au cas des tourbillons de signes opposés sur À et B. On trouve en effet facilement que :

I — 1] il 4 HT (= +26), à pCa+o,)—p(i+26) = | P(+26)3,

LE ph 2 ph—p( +20,

= ge |-th—t@a +o)—1@at+e R) —

T 1 p @ a + w,) de 2pCa+e) pÜr2)0 lo |

Er Éerrevor PCA Ed) = pATE20) = | PA +26) 03,

il p'h 2ph—p(+26);,

== |th—t( A+o)—{2a+o, + h) +

1 P' a + w1) 2 x 21p @ a en A0 NT e) |.

On voit d’abord que ua = — us. Comme la somme ua + up est nulle, on conclut que la ligne médiane initiale des files de tourbillons a, reste constante pendant le mouvement. En particulier si l’on a eu au début a—a,, les tourbillons s’écartent de part et d'autre de &, avec la même vitesse transversale, en valeur absolue. Pour que cette vitesse transversale soit différente de zéro, il faut que l’on ait p'(1+20)0,-<0 pour 0 réel, c’est-à-dire 0 <0 (mod. o,), autrement dt il faut qu'à l'instant initial les tourbillons ne soient pas régulièrement espacés avec la même période longitudinale w, sur la file æ—a,. C’est pour celle raison que j'ai supposé l'existence d’un décalage longitudinal relatif des tourbillons d’un même rang de parité par rapport aux autres.

On trouve d'autre part, en écrivant la vitesse longitudinale relative, que :

I »)'A LOL ET [2 cea+e mn +i@cto +]

ou encore, en tenant compte de la formule CIIT-1 de TANNERY-Morx, relative à la fonction & :

! os 1 1 ; Se RE Te [= —p2a+o) ph—p(i+26) "| pr)

On voit que si l’on admettait la condition initiale 8, —0, on aurait non

û "Det

R, = 0 aurait entraîné hk = 0, d’où un passage à la limite, opéré sur (32), aurait

donné va — vp —0; en d’autres termes, on aurait eu alors un système per-

manent.

: : ; AU seulement ua — up = 0, mais aussi va — vB — 0, puisque la relation —-

Appliquant la méthode déjà exposée, qui consiste à éliminer le paramètre temps entre les équations :

dh | Fr 2 uB le es urren] »' (1 +26) (33) D Tr ÊÈ= (+29 pCa+o)—p(1+20); PCT OP

2 w3 dû se LA | il RE 1 | D dl cp ph—p(@2a+u),) ph—p({i+26)os Dee on arrive à l'équation différentielle des trajectoires :

— p'h dh p'hdh — 2 63 p' (1 + 29) w; do ph— p (2 a + «w) il ph — p( +26); 2 (DE: p' (1 ci À 6) O3 dû .

NT péa tu) PO +20

dont l'intégration est immédiate. Rappelons que a —constante; nous aurons :

1 1 ee 1 On Gao) pCa Eu) pl r20e 0 pOa po) pr 28)

puisqu'on a comme condition initiale A, —0 et 0—04.