SUD DE

et de la relation évidente sn? + cn? — 1, on trouve (?) :

1 1 sn? (iv, k) TE CN) LE

Si l’on substitue alors l'expression de sn (iv, k) dans la formule de p (iu), nous obtenons :

er ——C

DORE Cr À sr? (u € — € k)

() Voir JAHNKkE-EMDE : Funktionentafeln, Leipzig 1933, p. 150. (2) Voir APPELL-LACOUR : Principes de la théorie des fonctions elliptiques, Paris 1922, p. 161,

(3) APPELL-LACOUR, loc. cit., p. 166.

formule à laquelle on aurait pu arriver encore par la construction de toutes nos fonctions elliptiques avec les demi-périodes £ el w,i, suivie d’une transformalion homothélique, avec un rapport d’homogénéilé égal à EVA (voir Tanxery-Morx, VII). |

Je peux maintenant calculer la valeur crilique &@e de &, donnée par (22).

Jai d'abord:

lu = == PT sr (A Ve — es k) cr® (h VE — C3, k)

>h—e,; — ph —e; —(e, — e;) = (e e2) ) 11 €g 1 3) la De (h Vies ya k)

puis :

1 1 1 ; = L Le — care a sn (h Ve, — €, k) L: Te ne (h Nr ne a. ;

ph—e ph—e, de même, on a la formule :

1 Nu snÊ [ (2 de + w4) Ve, — €%, k| sn? (h Ve, — € k) Ph—p@& +0) 4 —6 sn [Sa Fo) Ve, —e:, k] — sn (h Ve, €, k)

Si je substitue ces deux expressions dans celle de (22), on trouve :

(35) sn° [C2 de + vw) Ve, — es, k| — sn? (h Ve, — 3, k) [1 + cn? (h Ve — es; k) |. Pour À —3, w, —10 et k—sin 70°, on trouve successivement : sn (hVe, — es, k) — 0,64149 sn | (2 ac + 63) Ve, — e3, k] — 0,8085 — sin 5357! d'où (2)r:

(2 ae + 1) Ve, — es = F (k, #) — 1,0903 24e + w — 4,3532.

Or, 24e +uw, équivaut à w—2a, puisque (TANNERY-Morx, LXXII) sn(2K—u)—snu, d'où la seule solution géométriquement acceptable pour w + 2 ac = 4,3532 et w, — 10:

(36) de = 2,8234.

Ecrivons maintenant l'équation des trajectoires (21), en remplaçant les fonctions p par leur expression suivant des fonctions de JAcoBr. Nous avons :

sn? [ca + 20) w; Vanne, — 3, k| — sn? (2 op + y) Ve es a k| (37) sn [a + 20) w3 Ve — es CR k| — sn [C2 a + wi) Vases — €3 K |

» sn | (2 a + w4) Ve, — C3, k| — sr (h Ve — € k) sn° [C2 y + wy) Ve, — €3, k| — sn (h Ve, — 3, k)

(1) JABNKE-EMDE, loc. cit., p. 139,

Cette expression pourra être mise sous deux formes différentes, dont chacune est plus commode que l’autre pour les calculs numériques, suivant LE 2? L * qu'il s’agit de & << 4 où à > ae respectivement.

À titre d'exemple, je prends pour le mouvement M : a —2 el pour le mouvement M': a, =—3.

Mouvement M.

Pour a = 2, on a w, — 2a, = 6 ou :

6 Ve, — = 606 K

sn |[(w, — 2 ag) Ve, — es, k] — sn (0,6K, k) — 0,92335. On a trouvé d’autre part pour À = 3 :

sn (h Ve, — e:, k) — 0,64149.

L'équation (37) se mettra alors sous la forme : sn [Ga + 26) 62, Ve et, k|

sn? [2 ao + w)Ve, - 3, k| — 25m (h Ve, 3, k) | sn2| (2 a + w)Ve, - €», k |

+ sn! (h Vei-es, k)

NES Re TR Re sn? [«2 o + wy) Ve, — C3, k| — sn (2 a + w,) Ve, — 3 k|

0,02955 sn? [(2 a + y) Ve, — es, k] + 0,16934 0,85257 — sn? [C2 a + w) Ve, — C3, k|

et permettra de déterminer la courbe M par le calcul de 6 en fonction de a.

Or si u est réel et si nous posons sinv=sn(u,k)=sn L «2 a + w,)Ve, — C3, k| avec k=sin 70° et K—2,5046 d’une part :

W9 Ve, —e,=1K" ,; sinpu—sn{[(1 +26) K',K]

: ASIE 20)IKQUR — digg ER = sn IA) AN EE

avec k’ —sin 20° et K’— 1,6200 d'autre part, on peut dresser le tableau ci-contre :

| a u/K ul y sin y sin?v | —teu U sin & 10]

Tous les calculs numériques, concernant les fonctions elliptiques ont été faits en utilisant les tables de JAHNKE-EMDE.

ne Mouvement M.

On a :

es K dors >» Of — 245 = 4 ; 4 Ve, — ex —4 ous sn [Co — 2a) Ve, — es, k] —sn (0,4 K, k) = 0,77288.

La valeur de À, K, K’, k et k’ sont les mêmes que tout à l’heure. Résolvant l'équation (37) suivant a, on trouve :

sn? [C2 a + y) Vey — €», k|

not (A Ver — C3, k)— sn [2 po + vw) Vo CR k| sn? [Ga + 2 6) Ve. — 3 k| (39) | 2sn (h Ve,-es, - Ca, LE sn [2 do + y) Ve,-es, - C3 k | — sn? [a + 20) wVe, - € K | __ 0,16934 — 0,59643 sn? IRL OVER — es k] 0,22659 — sn? [(1 + 2 0) w: Ve, — es, k]

On procède alors comme pour le mouvement M; on pose :

sin v = sn (v, k) avec v = (1 +26) K gv = sn [Ha ave. es, k]

sin ® = sn [C2 a + wy) Verre €, k|.

On calcule le tableau suivant :

Dans le résultat final, concernant le mouvement M et M, il ne faut retenir que quatre chiffres au plus, le dernier chiffre pouvant d’ailleurs varier d’une unité. Celle précaution se justifie par les nombreux calculs intermédiaires (interpolations, etc.) que je devais effectuer pour arriver à la relation (a, 0},

Les relations relatives aux deux genres de mouvement M et M’ sont traduites graphiquement par la figure 38, après avoir dilaté un peu l’échelle de la variable 0. Les courbes M et M’ confirment la discussion algébrique, que j'ai faite auparavant, à partir des formules (17), (18), (19), ClNert22)