UA = UB

il faut que la ligne médiane des tourbillons y —a soit solution de l’équation :

here 1 7 à (49) Th 2 = 7 | Coth + @a— h) + Coth = Ga + n)| — AT UN POP TU € Ch ï EE Ch ET

R , ; DRTRe Or, du moment que 0<5 <a, le dénominateur du second membre esl

Fig. 42

R Ne é positif et ne peut s’annuler que pour a — D: La dérivée suivant a du second membre :

Axa 2rh 1e 1 Cher CRE

Te 4ra 2rh \2 (cn Ch )

. ‘ ; ; s \ fie est une quantité toujours négative. Si l’on fait alors varier a de TZ À + oo, le

premier membre de (44) croît de 0 à 1, tandis que le second membre décroît de + oo à 1. D'où la seule solution de (44) : a=+oo.

Le système ainsi constitué ne peut alors être en équilibre que pour a = +- Co.

14. Ainsi, si l’on suppose que la double file alternée se trouve à un moment donné à une distance moyenne finie de la paroi y — 0, le système ainsi constitué aura la tendance à se mouvoir; on peut caractériser ce mouvement par la variation de deux paramètres a el 6 (07 élant le décalage longitudinal relatif de la file À par rapport à la file B) en fonction du temps. D'une façon analogue à ce qu'on a constaté à propos des tourbillons alternés dans un canal de largeur finie. je peux montrer que quel que soit 6, la largeur À de la rue reste constante pendant le mouvement. Considérons pour cela un système analogue au précé-

dent, mais avec un décalage longitudinal relatif 61 des files A et B à l'instant L: on aura ainsi une file de tourbillons d’affixes z, (mod. /) d'intensités — I et

des tourbillons d’affixes 2, + (+5 )r +ih (mod. 1) d’intensités + I (fig. 42)

Le potentiel complexe de ce système s’écrira :

A: 1 A a , Sin (2 — Zj — (6 + 2) | — ih) sin TC — Z0)

(45) fG)= 5; — log > See ve , SIN (z — Z) — ( + + 7) L + in) sin TG — 29)

Je ne refais pas les calculs intermédiaires qui conduisent à la détermination de la vitesse des lourbillons. Ces calculs sont identiques à ceux développés aux pages précédentes et feraient double emploi. J'écris tout de suite leur expression :

, e : Sh 4 uB=5ST | — Coth-7(2a-—h) + Dh - + Ch + cos 2 x0 Chers ee cos 2 rb L rh 4xa (46) I Sh 1 Sh I

nd ua = 37 | Coth — (2a + h) + :

2; ! Ch ue + cos 270 Ch 2 a +- cos 2 x0

Dr 1 1 a VA = VB — 57 EE - sin 2 ré.

| br 08 276 Ch —— + cos 2 ri

On voit d’abord que la quantité À reste constante, puisque PA — vB, quel que soit 0.