Je pose alors
= URL di (7) ) re dû
ce qui me donne les deux équations :
l . = . pes — — — Me | Sh Ch ne CH Ch . + cos 2 r0 (48) | sin 2 xû
Huerel 1 ti LR Eros al eg oh : 4 il £ FE “ae cos 2 x Ch: F + cos 2 LUE
que je disculerai plus loin. Auparavant j'élimine le temps df, en écrivant :
ge — mi) (ce ) É l "
QU — € à (ch 2 + cos Hi CHE COS 2 x (ch * 2 1) ou (l sos 1 (cn HET H, sin 2 +6 Ou :
À ra sin 2 x6 dû 2 Sh l da Br 2 [4 D) h (ch 27% + cos 2 x) (cn n hs
et ceci est une équation différentielle, ayant comme intégrale générale :
25h 4, Ch2F + cos 2 #5 = 2
On a alors facilement l’allure des trajectoires (a, 0) et en particulier celle qui passe par le point a=a, et 8—0 du plan (a 8). Ayant déterminé la constante d'intégration C, on a l'intégrale particulière :
/ 1 1 1 rh 4 ra 2 rh
Ch 2
de = cos 2 xô CI
, + To RCE LE
qui me sera très utile pour la détermination de la valeur critique a de &, analogue à celle trouvée à propos du canal de largeur finie.
Considérons les expressions (48). On a d’abord, pour des raisons géomé-
te à Ju : 3 AE d6 triques évidentes 0<h<2a; il s’en suit que quel que soit 6, la dérivée m7 est +e $ da positive et ne peut s’annuler que si a=—+co. D'autre part + le signe et les Re ne du mêmes zéros que sin 270. Par conséquent la dérivée ui € s’'annulera que si
1 A À 1 da 010 (mod. se en particulier si 0<8< TZ On aura Fr > 0. Ainsi si a aura a,
1 db da
atteint la valeur + © avec 6 —, ET restera nulle et di tendra vers une cons-
tante. Le système de tourbillons aura atteint ainsi une configuration asymplo-
tique. Si par contre a est encore fini quand 0 aura atteint la valeur DÉ 0 conti- : À da . : 1 see nuera à croître tandis que 4 Sera négalive lant qu'on aura < DT Etain
de suite. Dans ce cas, on aura un mouvement analogue au mouvement M’, tandis que le premier cas correspondra à un mouvement M.
La détermination de la valeur crilique &, se fait à parlir de l’équation (49) en cherchant les racines en 0, après avoir posé a——+oo. Si ces racines sont réelles, c’est-à-dire si l’on trouve |cos2r6| Z1, on a un mouvement M, tandis que le cas |cos270| = 1 correspondra au mouvement M’. Or nous avons pour == CO;
| 2 CHA es —9 Ch - Ch? À | COS 270 — Tree SEX Ca l ; ou encore :
2 rh\?2 G + Ch — | (50) sin? T0 — 4 | 9 ( + CI +) ce qui permettra de conclure qu'il y aura des racines réelles de 9, tant que le second membre de (50) — quantité essentiellement positive — sera inférieur à l’unité.
Si je définis donc une valeur a, de & par la formule sin? r0 — 1 ou :
9 rh\2
Ar (: Ch E ) Ré)
(51) Ch =? — : i
on pourra prévoir que toutes les fois que 4 <&,, on aura un mouvement de genre M’, c’est-à-dire à aspect sinusoïdal en (a, 8), tandis que la condition initiale TROT pour 8, —0 donnera lieu à un mouvement M, asymptotique à Omax, cette dernière valeur de 8 étant d’ailleurs donnée par l’équation (50). Si on est dans le cas M’, a oscillera entre & et max, Celle dernière quantité étant solution de l’équation :
>. 9 xl ER PR CELA LT A Cha (52) Ch AT ne (l l (l l rte ONE] ET ce oo F-
16. Si on avait à l'instant initial 0, — T7 au lieu de 0, —0, c’est-à-dire si on
avait au début une configuration symétrique et non la double file alternée de
