RUE

Ch#=Y2 ( h—1,7627 ().

La valeur critique a, de à, est donnée par l'équation (51). On trouve :

. () Sans rien présumer sur la stabilité relative à cette valeur particulière de h, que j'ai choisie arbitrairemen

(2) Pour les calculs relatifs aux fonctions hyperboliques, voir L. Porn : Formules et Tables numériques (Paris, 1925).

se

Je choisis trois valeurs particulières pour les conditions initiales 0 — 0 :

(a) Cie ee se (8) CHE Te Se (D Ch 5% 9

el je calcule dans chacun de ces cas les valeurs correspondantes de a et 0. On peut résumer ces calculs par le tableau que voici :

(2) Oo @

a — RE , EE il cos 2 rx | Ch = a | ch LE a Ch Æ a

0,00 1,00000 | 5,0000 1,146 7,0000 1,317 9,0000 | 1,444 0,05 0,95106| 5,0124 1,148 7,0497 1,320 011136 (e . 1,447 0,10 0,80902 | 5,0521 1,151 72211 1,322 9,4488 | 1,468 0,15 0,58779| 5,1180 1,158 7,5190 1,353 10,250 1,509 0,20 0,30902 | 5,2331 1,169 8,0558 1,388 11,739 1,577 0,25 0,00000 | 5,4000 1,185 9,0000 1,444 15,000 1,699 0,30 || 0,30902| 5,6430 1,208 10,789 1,535 95,195 1,960 0,35 ||— 0,58779| 5,9914 1,238 || 14,704 1,690 477,54 | à 3,495 0,40 || 0,80902| 6,4060 1,272 25,944 1,974 0,45 ||— 0,95106| 6,8174 1,304 86,733 2,578 Re 0,50 ||— 1,00000! 7,0000 1,317 DES re pour 0 — 0,3525

L’allure de la courbe est traduite graphiquement par la figure 43 et confirme la discussion algébrique faite à partir des équations (48), (49) et (51). Mais au point de vue expérimental, on se rend facilement compte, par l'examen des deux figures 44 et 45, que le mouvement transversal des tourbillons n’est pas net, ou tout au moins ne dépasse pas l’ordre de grandeur des fluctuations de la position des tourbillons. Par conséquent la confirmation des résultats relatifs au mouvement des tourbillons au voisinage d’une seule paroi est aussi peu satisfaisante comme dans le cas d’un canal. Ce sera le but du chapitre suivant de donner une explication de l’absence pratique du mouvement transversal des tourbillons.

18, Nous avons vu que les résultats auxquels nous sommes arrivés relatifs à une seule paroi sont analogues à ceux qui se rapportent aux tourbillons dans un canal de largeur finie. En particulier, j’ai constaté dans les deux cas, l’existence d’une valeur critique de la position initiale des tourbillons par rapport aux

PS

parois, par suite de laquelle les tourbillons peuvent effectuer deux genres essentiellement différents d’oscillations. Je les ai désignés par oscillations de genre M et M’ respectivement et celles-ci se retrouvent dans un canal de largeur finie de la même façon qu’au voisinage d’une seule paroi rectiligne. Pourtant deux différences fondamentales doivent être signalées. La première différence est ceci: dans un fluide limité d'un seul côté, le mouvement M n'est pas périodique. La seconde différence concerne la possibilité du mouvement d’une double file symétrique; tandis que celui-ci n’est possible dans un canal que sous certaines conditions, faute de quoi les tourbillons peuvent percuter une paroi, entraînant alors automatiquement l'interruption de tout mouvement, il

Fig. 43

ny à aucune condition supplémentaire à remplir dans un fluide limité d’un seul côté par une paroi solide : dans ce dernier cas le mouvement (M') d'une double file symétrique est toujours possible.

19. Avant de terminer ce chapitre, je voudrais examiner brièvement le mouvement d’une file unique de tourbillons, régulièrement espacés, d’intensités soit alternativement positives et négatives, soit tous de même signe. Ce système est placé à l'instant initial à une distance a —a, de la paroi 0) É

Le premier cas se déduit sans difficultés des équations (48), (49) et (51), a ? GREEN TES A 2x A a CP — lorsqu'on fait tendre À vers zéro. Comme la valeur critique &, se réduit ici à

ie Me 4 ra Zéro puisqu'on à pour À —0, en vertu de (51) Ch I — 1, on se trouve toujours

dans le cas M. À reste nul pendant le mouvement et 6 ne peul jamais dépasser ;.

E | RON Ve ns n effet la dérivée ar St positive et tend vers zéro pour 8 — "y Où éventuelle-

Fig. 41. — Images successives extraites d’un film, reproduisant la surface libre de l’eau par la méthode oplique. Les fluctuations de la position des tourbillons ont une grandeur comparable à la variation de l’écartement relatif des files

Le ment pour 8< --si a—+0co. Or pour que a devienne infini (pour A—0)