RE

avec 0< +, il faut que l’on ait en vertu de (49) :

D LA mes a SET PAR D EE Ch 1 ef OÙ:

Sh 27% — cot 79

5 , l ce qui montre que pour que la valeur asymptotique de 0 atteigne +, il faut

que & soit zéro, autrement dit il faut que la file des tourbillons soit infiniment

Fig. 45. — Les conditions expérimentales sont celles de la fig. 44, sauf le paramètre a, qui est un peu plus grand. Les fluctuations ont la même importance relative

près de la paroi y—0. Pour toute valeur initiale positive de &,, la valeur

, Tete À asymptotique de 0 restera inférieure à DÉ

20. Lorsqu'on a une file de lourbillons de mêmes intensilés, on procède comme dans 1e cas d’un canal de largeur finie, en choisissant les paramètres du mouvement de la même facon. Je suppose qu'à l'instant £ la configuration est celle de la figure 42 au changement de signe des intensités près sur la file B. A l'instant initial, on a bien entendu à — &, h = 0 et 6—0.

Les composantes de la vitesse à l'instant # s’écrivent alors :

T UD — : SR = + Coth Fé @a—h) 2 2 4 cos 2 16 Ch ET + cos 2x6

. - Er sin 2 ré.

F Ch l + cos 2 x Ch—7 + cos 2 7

(54) | ; L = … Sh F- N EL ds RE nr 4 1) HA 9] 2 rh Todd re Ce Ch I + cos270 Ch 1. + cos 2 rô

I 1 1 = DA — — sin 2 x.

ci | Ch 277 + cos 2 #0 SEE

On retrouve d’abord le résultat va + vp — 0, exprimant l’immobilité de la ligne médiane des files A et B, quels que soient a, À et 8; on a donc, pendant tout le mouvement, a—const. La vitesse longitudinale relative ua — up s'écrit :

I 2 Sh 2 Z , Ua —UB= 57] ——,5—— + Coth —+ (2a+h)—Coth—(2 a — h) Poe :

(55) nl + COS 27 I 1 1 rt : ne , “HO Tir des en LE qu 2 | sn FN Si on pose maintenant :

dh FN A di (56) ri URI di

on peut discuter les équations (54), (55) et (56), dont l’analogie avec celles de (31) et les suivantes est frappante.

: RL Tout d’abord si À est zéro, He 0; donc si on a au début 6—0, 6 restera

; . dR ; zéro el on aura aussi Fr Un tel système est permanent, comme il fallait

sy attendre. Pour qu’il y ait un mouvement à partir de A, —0, il faut que la valeur initiale de 8 soit différente de zéro. Or supposons qu’elle soit positive et

DO el dh inférieure à Comme 0<h<2a, dr à le même signe et les mêmes racines

que — sin 2x0. Par conséquent À, nul au début, décroît si 0 <0 — passe par

Le 1 k 1 dô un minimum pour 0 — D Puis croil, lant que a. 02 0Or nn 0 pour À = 0. Donc 0 est une fonction croissante si À est négalif et inversement. Pour que le

£ x : 1 Aus mouvement soit possible, il faut que 6 — D conduise à une valeur de |h| compa-

lible avec l’inégalité 0 <|h| <2a. Or il en est certainement ainsi. Si l’on élimine en. effel df entre les trois derniers groupes d'équations, on obtient une équation différentielle entre 0 et À, dont l'intégrale générale :

1 l 11e 4 ra 2rh— . da , c ae Ch Sr Ch DE + cos 2 x

Ch

nous donne, en tenant compte des condilions initiales À, —0 et 06—0, < 0:

1 1 1 + ne À == ; Ch == CH 2 Ch = Ro. Che à 1 | Ch a. + cos 2 rh,

el permet de calculer le maximum de |h| en posant 0 — 3 - On trouve :

1 2 1 (58) — — Ai HE EE Et . 1 CRIE + cos 2%

ce qui nous montre bien que le mouvement est toujours possible. Le raisonnement est analogue à celui que j'ai développé à propos du canal de largeur finie et nous montre que la courbe est un ovale ayant des demi-axes :

(l 5 ( =) 05) er | Amax IP

Je n’insiste pas davantage sur celte question, dont l'intérêt est surtout spéculatif.