CHAPITRE VI

ÉQUILIBRE de DEUX FILES de TOURBILLONS d'INTENSITÉS INÉGALES dans un CANAL ou à PROXIMITÉ d'une SEULE PAROI

4. Si un obstacle se meut dans un fluide libre avec une vitesse uniforme et si l’on suppose qu'il a un plan de symétrie, qui contient la direction du mouvement, il est de toute évidence que les tourbillons formés derrière l’obstacle auront les mêmes intensités, en valeur absolue, sur les deux files; les circonslances seront les mêmes lorsque le mouvement de l’obstacle s'effectue suivant l’axe de symétrie d’un canal rectiligne. Mais il en est tout autrement lorsque l'obstacle se meut à une distance inégale des parois, ou encore si le fluide n'est limité que d’un seul côté par une paroi solide. On conçoit facilement alors que les tourbillons détachés de l’obstacle doivent être soumis de la part des parois à des influences inégales, ce qui a comme résultat la formation de deux files de tourbillons d’intensités inégales.

Le mécanisme précis de la naissance des lourbillons nous est inconnu. Des explications d'ordre qualitatif, comme la théorie de « l’enroulement de la couche limite », nous suggèrent cependant que le rôle essentiel est joué par les gradients de vitesses aux flancs de lobstacle, gradients qui proviennent de l’adhérence du fluide à Fobstacle et aux parois solides. Mais l'obstacle et les parois contribuent d’une façon très différente à la détermination des intensités des tourbillons et leur rôle doit être précisé si on veut comprendre la cause de l’inégale distribution des intensités sur les deux files.

Supposons un système de coordonnées lié aux parois et un liquide immobile, rapporté à ce système. Si le nombre de Reynolds relatif à l'obstacle n'est pas (rop voisin du critérium et le canal pas lrop étroit, la théorie de L. PRANDTL (1) nous apprend que la couche limite ne s'étend que sur une très petite épaisseur des flancs de lobstacle et cette épaisseur est certainement plus faible que la distance qui sépare l'obstacle de la paroi la plus proche du canal. S'il en est ainsi, les parois peuvent être regardées, au moment même de la

() Voir Handbuch der Experimentalphysik, t. IV, fase. 1 (Leipzig 1931) p. 241 et suivantes.

formation des tourbillons, comme étant à très grande distance de l’obstacle. Leur rôle étant alors négligeable, on peut admettre que tous les tourbillons ont la même intensité au moment de leur naissance. Mais une fois qu'ils se sont détachés de l’obstacle et portés à l’aval dans le fluide libre, les parois immobiles interviennent aussi et leur action amorlissante exercée sur eux sera inégale sur les deux files, conformément à leur distance inégale des tourbillons. Il est certain alors que plus la paroi est proche, plus celle action est importante et les tourbillons de la file la plus rapprochée d’une paroi seront plus amortis que les autres.

L'exactitude de ce raisonnement qualitatif est très probable. Si les tourbillons alternés avaient en effet les mêmes intensités, en valeur absolue, sur les deux files, ils devraient effectuer des oscillations transversales dans le canal (1). Comme l'expérience n’a pas révélé ces oscillations, l'hypothèse des tourbillons d’intensités inégales sur les deux files devient une nécessité.

Il s’agit de savoir laquelle des deux files contiendra les tourbillons d'intensité plus grande. Deux hypothèses essentiellement différentes peuvent être faites à ce sujet :

1° L’épaisseur de la couche limite de l'obstacle est négligeable par rapport à l’espace intermédiaire entre l’obstacle et les parois. Dans ce cas les parois n'interviennent pas dans la formation même des tourbillons; elles n’exercent sur eux qu'une influence amortissante, quand les tourbillons se trouvent déjà dans le fluide libre. Cette hypothèse entraîne la conséquence que la file la plus proche d’une paroi contiendra les tourbillons d'intensité moindre.

2° Si l'épaisseur de la couche limite est égale ou comparable à la distance qui sépare l'obstacle de la paroi la plus proche, la présence de celle-ci augmertera le gradient de la couche limite d'autant plus fortement qu’elle sera plus près de l’obstacie. Dans ce cas Tes parois contribuent elles-mêmes à la formation des tourbillons et augmentent leur intensité. Le rapport des intensités sur les deux files sera l’inverse de celui trouvé dans le cas 1°.

Le but de ce chapitre est de montrer que la théorie confirme la première hypothèse, au moins dans les grandes lignes. Cette théorie n’a pas la prétention d'être précise; j'étais obligé en effet de faire des hypothèses simplificatrices, admettre par exemple que l’on a deux files de tourbillons indéfinies dans les deux sens, que la viscosité est négligeable, etc. N’empêche que même dans ces conditions approchées, les conclusions ont un certain intérêt, ne serait-ce que provisoire, en attendant que les difficultés mathématiques soulevées par une théorie plus rigoureuse, soient surmontées (?).

2. Considérons un canal rectiligne indéfini, de ligne médiane æ—0, ayant

« ù + ; comme parois X=+ à et soit x—a 0 la ligne médiane des tourbillons

(fig. 46). Cherchons les conditions dans lesquelles deux files de tourbillons

(1) Voir chapitre V.

(2) L'action de la viscosité sur les tourbillons alternés a été étudiée récemment par S. G. HooKkER dans un mémoire paru aux Proceedings of the Royal Sociely, série À, t. 154 (1936) p. 67.

alternés À et B peuvent être en équilibre relatif; je suppose que les tourbillons ont des intensités + I, sur la file À et — I, sur la file B. En faisant le raisonnement identique à celui du chapitre précédent, on peut écrire le potentiel complexe f (z) de ce système :

= —. 1], 108 me ,

NE ) 9, (Rte)

ou z, est l’affixe d’un tourbillon quelconque de la file A, z, + h + w, celui d'un tourbillon quelconque de la file B et z la valeur complexe conjuguée de z,. Les fonctions % sont construites avec les demipériodes w, et «4.

La transformation indiquée par la formule XXXIV-6 de TANNERY-Morx permet d'écrire encore:

calculer la vitesse des tourbillons sur A et B. Les calculs intermédiaires ne présentent aucune difficulté et sont analogues à ceux que J'ai développés au chapitre V; je me contenterai d'écrire tout de suite l’expression des vitesses. On arrive aux formules :

2x (u— io) = — 1 [tu (+2 — À (0+2)] | + L ÉTERACEEES Se EX +2 + 2h) | (3) É Le 2ir(u—iv}B—=L [e (= + 29 + 2h) — LC +7 + 2h) | w)4

\ a Ë R— & (co +20 +4) + SE (x +2) |

qui se simplifient, si on y fait figurer la variable a, donnée par :

Zo F5 = 2% —=2a — h.

On obtient ainsi :

2rva—— I, [e @a—h)—"t (2a —n|+ L [en + ou (2a + h) |

4 5 3 COL SERRES À [c (2 a +D—TL@a+b|+1 [&i—u2a + @a—n| [O7 = 27)