NUE

Ces formules nous montrent que la vitesse transversale des tourbillons est nulle, quelles que soient les valeurs L, et — [,. Quant aux vitesses longitudinales, elles sont en général différentes sur les deux files. Pour qu’elles y soient égales, ce qui est nécessaire pour que le système de tourbillons soit permanent, il faut

que le rapport des intensités y — 7 satisfasse à la condition :

; | L ___p(a,h) @) To 1:

avec :

(6) o (ah = Ca—h)—K2a+th.

Si on se rappelle maintenant le groupe de formules XII de TANNERY- Mozs, permettant de passer des fonctions &, à la fonction 6, on trouve :

8 Ch) = ta —R + 0) + EC 2a + 03) + LCR + 07)

ou encore, après avoir appliqué la formule d’addition de la fonction £ (TANNERY- Mozx, VII-3) :

5 +3 1 P' (o3 + w — 2 a) — Di (oz + h) (7) “ (a, h) ue D P ce + à À a) —)p FE h) d

Pour pouvoir discuter la variation du rapport des intensités y, en fonction de la ligne médiane x—a des tourbillons par rapport à l’axe x —0 du canal, il nous faut connaître la variation de (a, h) en fonction de a. La dérivée du second membre de (6) s'obtient, en tenant compte de la relation élémentaire :

(,u——pute,) où a—=1,2ou3:

ovw(a,h (8) DEC) 2 pp (us + 2 0) — p (ou + 24 — R)]

Or. on connaît la variation de la fonction p pour les arguments intervenant dans (8). Comme :

w9 + 2a = — w; + quantité réelle

| w, + 2a — h — quantité réelle

on a tout de suite :

| e LP (a + 9) £ € e <p(o+2a—h) P (os +2a) — p(o, +2a— h) L— (e — &)

d'où :

oo(a,h (9) ER ee es) < 0.

N'oublions pas d'autre part les conditions géométriques : (NE-6 <a R <T vw (10) -

h—w, L2a<wy—h

qui découlent de l’hypothèse qu'aucune des files À et B ne coincide avec la paroi P ou P'; ceci étant admis, la fonction + est décroissante dans tout l'intervalle de a, fixé par la seconde inégalité de (10). On a d’ailleurs les valeurs particulières :

1 p'(o; +h) O1) ? QC D HE F7 Cp (wa + h)

positive et finie puisque le numérateur et le dénominateur le sont, ensuile :

Pl un nt P'@s+th+Ee)—p(o+h) 1 ps; +h) (12) 1 ( D =, h)= ; lim P (o: ñ + ë) tp (os 25 DE 2 p'(os au h)

dont le signe dépend exclusivement de celui du numérateur p” (w,+h) et finalement :

R—», — pos + hR+HE) — p'(o3 + h) 1

o SAT RE I De a A SO re à = + > (rs ( PQ n) 2 =" P (os + h HE) — po; + h) ie £ Ds: e— 0

La connaissance de ces trois valeurs particulières de + nous montre d'abord que :

Y = l'poura D EE

(Or nr

Mais l'examen de la valeur de 4 , h}nous apprend que y tend

vers 0 par des valeurs posilives ou négatives, suivant que la fonction p" (w;, + h) est négalive ou posilive respectivement; et cette dernière éventualité ne dépend que de la valeur de A, c’est-à-dire de la largeur de la rue de tourbillons.

: Boat nc % ä Cl 1° Supposons que y lende vers zéro pour a— j Par des valeurs

positives; pour qu'il en soit ainsi, il faut que p”’ (w, A) soit négative. Comme

la fonction + est loujours positive, ayant une dérivée négative, le rapport o(a,h) É LE RNRS

de restera loujours posilif; il décroîtra régulièrement de 1 à 0, 1 ,

20 Si p'(w; +h)=>0, y tend vers zéro par des valeurs négatives, lorsque

lorsque la variable a parcourt l'intervalle (0. A),

0) = h = F. : 5 E ‘ C0 a tend vers ——-—. y étant une fonction continue négative au voisinage de OS h a: GE r ) .

eos el posilive pour «a voisin de zéro, elle devra s’annuler au moins une

DS js y — R : .< fois dans l'intervalle (o. en vertu d’un théorème classique relatif aux

fonclions continues.

o(a,h AD, s’annule dans

Or on peut montrer que lorsque la fonction ÿ = ——=———- : o(— a, h)

CV h à Are . .

l'intervalle (o, ME, elle ne s’y annule qu'une seule fois. Pour le faire voir,

transformons l'expression (7), en utilisant une relation de la théorie des fonctions elliptiques (voir TANNERY-Morx, tome 3, p. 96-97) que voici :

Si trois grandeurs u,, uw et u, satisfont à la congruence :

U, + Uo + u3 = 0 (mod. 2w,, 202), on a identiquement :