pu, pu

1 pa pu |— 0.

lp opus Posant alors w=w; th, u=vw;+w —2a et u=w +2a—h, l’expres-

sion (7) se transformera par l'emploi des identités CIIT-9 de TANNERY-Morx, déduites du développement du déterminant ci-dessus, en :

(14) (9) (a, h) —— 5) EE (o, + 2 a 7; = P (oz # h) ,

dont la discussion est facile. Comme on a les deux inégalités : D ET) ez LP (oz + h) Le, le dénominateur de (14) vérifiera la relation PC +2a—h)—p (os; + h) 2 e —e

et sera par conséquent une quantité posilive et finie, sauf peut-être aux extrémités de l'intervalle de variation a. Les seuls zéros de & et par conséquent de y seront alors ceux du numérateur de (14) dans lequel on fait varier «a de 0 à

Da h no Posons :

(15) d(a)—= per L2a—h)— p'(e: + h)

et désignons par a* la valeur (positive) de a, pour laquelle : Ÿ (a*) —=(|) &

comme à est une fonction continue de à, s’il y avait une autre racine de % dans : OL 5 : OS l'intervalle (o. es on aurait, par suite du théorème de ROLLE, pour une

valeur intermédiaire entre ces racines: à’ (a) —0. Or la dérivée : g'(a)—=2p" (vw, + 2a — h)

est essentiellement positive, puisqu'on sait que la fonction p" d’une variable purement réelle est toujours réelle et positive.

; un Par conséquent à (a) s’annule ou non dans l'intervalle (o, ut), suivant que p” (w;+h) est positive ou négative. Si Ÿ (a) s’annule, elle ne s’annule que

à eye V0 :

pour une seule valeur de a* comprise entre 0 et TT. donnée par :

On peut exprimer la condition relative à p" (w,+h) autrement. On sait que l’équation :

a deux racines z, et z qui vérifient l’une et l’autre les conditions («) ou (B) :

(a) OÙ LA L'O + w avec PA = + LB

Œ) <a<ote avec pa V

Nous sommes visiblement dans le cas (8). On se rappelle d'autre part que si h est réel et croît de O0 à w,, p (w3+h) croît de e; à e,, tandis que p" (w;+h), positif au début, décroît, passe par la valeur zéro et reste négatif.

Dire par conséquent que p” (w;+h)=>0, veut dire simplement que h <z,, ou encore en vertu de (8) :

P (oz + h) + 1/2 <0,

avec une inégalité inverse, si l’on voulait exprimer p'(o3 + h) < 0.