En résumé, élant données deux fonctions

CA L (2) — D: (o, +2a — h) — P’ (o, + h)

et supposant que a varie de 0 à — :

1° Si x(h)> 0, c'est-à-dire si AZ RhR*, avec x (h*) —=0, y décroît régulièrement de 1 à 0 (fig. 47). Dans ce cas, quel que soil à, il est toujours possible de choisir les valeurs absolues des intensités + I, et -- I, des tourbillons alternés pour avoir un système permanent. Le fait d’avoir trouvé y <1, sitôt que a <0, montre que l'intensité des tourbillons B (fig. 46) est inférieure à celle des tourbillons A, autrement dit les tourbillons les plus proches d’une paroi ont une intensité relativement moindre.

20 Si x (R) <0, c’est-à-dire si h <h*, avec y (h*) — 0, il existe une valeur critique a* de a, donnée par l'équation d (a*) — 0 et telle que si 0<a<a*, 7

décroît de 1 à 0"et reste négatif si-a<a< BE (fig. 47). [ est vrai que pour 0<a<a* le rapport de la valeur absolue des intensités des deux files est de même nature que dans le cas x (h) > 0, c’est-à-dire [L, <1;, mais si a > a*, il n’est plus possible de choisir 1; et — [, de quelle façon que ce soit, puisque les conditions de la permanence nous conduisent à une double file alternée de tourbillons avec le même sens giratoire sur À et B.

4, Pour avoir une idée de la grandeur réelle de a*, je vais faire une application numérique sur un exemple particulier, identique à celui que j'ai traité au chapitre précédent. Le lecteur est prié de vouloir bien s’y reporter.

La valeur critique positive a* est donnée par la racine réelle de l’équation :

Œ) pe +2a —h)—p'(03 + h)—0.

Or on peut remarquer que l'expression :

PC + 24° — h) + p'(o; + h)

est toujours positive, puisque c’est la somme de deux grandeurs positives. On peut donc multiplier équation (E) par cette expression, sans que l’on introduise de solutions étrangères. Tenant compte de la relation :

ID es ” ” PAT pi Ar 0e peer 0 3

on [rouve :

p? Co + 2a° — h) — p (03 + R) = 4 pe +24 — h) — 4 (oz + À) — ga p (4 + 24° — h) + gp C3 + R) = 0 aont le second membre est divisible par :

4 [p Co + 24° —R) — p (3 + h)].

Cette division est légilime, parce que cette quantité est toujours positive. Après

l'avoir effectuée, on arrive à l'équation du second degré en p (e, +24 — h):

CE) pe Co + 2a° — R) + p (oi + 24° — hp (os + h) + pt (os + h— = 0, qu'il nous faut résoudre pour avoir a*. Rappelons pour cela les formules (TAnxNERY-Morx, VII-9) : ,

€) (es — €)

ph — e;

P (o2 L h) —= € Le

EUNS

e, —e 1 — sn° (h Ve, en e,, k).