PR

Les valeurs numériques (indiquées au chapitre précédent) de e;, €, el e; nous donnent :

sn (h Ve, — €, k) — 0,64149 P (o3 + R) = ex + (eo — e3) sn? (n N PRES as k) — — — 0,020336, P?(o3 + h) = 0,00041355,

et (TANNERY-Morx, VIT-6) :

Ces valeurs nous montrent bien que hk<h*, avec y (h*) —0, puisqu'on a pour les demi-périodes w, et w,; données :

7 ar = p Cs +) + = 0, GIE

sn (h* Ve, — ez k) — 0,6961 — sin 44° 07,

ce qui me conduit, par l'emploi des tables de JAHNKE-EMDE, à la relation :

h* Ve, — e, — 0,8460 ; d'où finalement :

On a donc bien pour hk=3, hR<Rh"*.

L'équation (E,;) devient alors :

CE’) p? Co, + 24° — h) — 0,020336 . p (w, + 2 a° — h) — 0,00076265 — 0 dont la solution positive en p est seule à retenir, puisque p (wo, +2a* — h) > e,.

On a”:

Or la transformation en fonctions de JAcoBr nous donne :

; ; nes LE ee __ 0,062730 sn LG + 2e — he es = 0007

d’où :

sn [(oy-+ 2a* — h) Ve, —e:, k] — 0,99822 — sin 86° 35’. On trouve alors par l'emploi de tables de JAHNKE-EMDE (loc. cil.), p. 139 pour k=—sin 70° et y —= 86357:

(op Da h)Ve, ee, — 2,531].

PA D TS Rs ARE ER 4 Comme a*> —, facile à vérifier à propos de la valeur de y. je prends 2 1 pour argument :

Ds Ve, TC

cl ceci me conduit finalement à la valeur cherchée de a* :

Un 216; h

valeur légèrement supérieure à CE

5. Il est tout naturel de se demander maintenant dans quelles conditions la double rangée symétrique de lourbillons peut constituer un système permanent.

Le raisonnement que je vais faire ne diffère pas sensiblement du précédent. Je . , c»4 ; % .

suppose toujours que les parois du canal sont x—+ = ,les coordonnées des

tourbillons + I; (file A) or iys (mod. 2w,) et celles des tourbillons —

J (file B) a+ 5 + iy) (mod. 203).

Sans refaire les calculs intermédiaires, j'écris tout de suite l'expression de la vitesse complexe :

2 ir (ü — iv}s = [e Ga-Eh} a Ga + n|

HIT RG — 0) — & Ba op + Ga — »| (17) 2 in (u — iv)a = I, [s (h — 63) + Q (2 a + 63)

— LG a+ n |-- ï, [ce @a—h)—#(2a — n| DA A formules qui me donnent d’abord la condition évidente : HA —UR 0,

puis la condition relative à l'égalité va = vp, qui s'écrit :

__ LE ___G@,h) GE er ES AT ET) en posant :

1 Q@, h) = — ©, (a —h) + Ca — vs) — 3 (R — 03) (GE) 1 p@a+e—h)—ph

2 pCa+o—hR)—ph

Pour que le système de la double file symétrique soit permanent, il faut (O7 CE h RO.

que y reste positif pour toute valeur de a comprise entre 0 et

1 x 270 (19) TS GT on —= P (2a + 4) nu | a + OT h)

est une fonction réelle et continue dans l'intervalle de a, donnée par hR—w, L<2aLw, — h,

puisque le second membre de (19) est la différence de deux fonctions, qui sont elles-mêmes réelles et continues.

; 0 à Si 24+w, =+(2a +, —h), (mod. 2u,), est nul. Seul le signe moins

est acceptable à cause de A:<0; on a donc :

LPC eee Re

a do, (a, h) À rh M0 10 NM QE 4?

09, (a, h) : R (or —h

un Ua on

; Le x Un y : oy — 3 : .

Ainsi si a croît de —5—+ à =—, :, croît passe par un maximum, puis 2 0) T1 ) 5 décroîl. Comme il nous faut connaître le signe de ®, il est indispensable de : hi :

savoir la valeur de +, pour a—0 et a — 7° Ce dernier correspondant au maximum de w,. On a tout de suite, en appliquant la formule CIII-9 de TANNERY- Morx, à l'expression :

1 po —h)— ph TN ph

pi (0, h) —

qui est déduite de (18 bis) après avoir posé a—0,

(20) AODE THE

et cette formule nous montre que # (0,h)<0 quel que soit À Low, puisque ; ; 1 p'h<o et ph>e,. Quant au maximum de vw, donné par a— q> on peul

meltre %, sous la forme d’un quotient de deux fonctions :

(21) o (+ x) En)

où :

Œbe | h LE) Co, — 3) — ph.

. : 2 Le dénominateur de (21) s’annule si (et seulement si) A — rer Onae 29 D Dan (22) FO) SOsuivantquen St:

d'autre part f (A) est une fonction continue si À 0, cette dernière condition devant être supposée de toute évidence.

On détermine ensuite la variation de ÿ, (A) en écrivant la dérivée :

1 h M HD == 5 P Co, — 5) — p'h, qui est visiblement négative puisque la fonction p” est positive pour toute variable réelle; elle est continue toutes les fois que h 0 (mod. 2w,); f (h) est donc une fonction décroissante, lorsque A croît de 0 à w,; en particulier on aura :

hi @=+= (23) ñ (5) =0

BG@D= p (SE) <0.

En définitive, si l’on tient compte des relations (21), (22) et (29)

2 w Si 0 <S h A sh Ch) 0, UD A0 et Dimax 0;

@n À sh TL, fi (h)=/f(R)—0, lim max =

N| En Sd DÉS PTE Le) ie D 2

ce R se OJE fl (R) a 0, [ (h) == 0Oet Dymax ee 0 ;

de sorte que quel que soit À, le maximum de #, est négatif. $, ne change jamais Ê : s R — OR En (0 feras R de signe si a varie de à jusqu'à — 5

Comme y est le quotient de deux valeurs particulières de 9, loujours négalives. y restera toujours positif. On peut résumer sa variation par le

schéma :

0 [O7 SE h a a ER ; 2 y 1 minimum | positif

dont l'allure précise n’a pas grande importance. Ce qu'il faut retenir pour notre but, c’est le résultat que y reste toujours compris entre 0 et 1.

La double file symétrique, placée dans une position a 0 entre deux parois rectilignes, est donc un système régulier, en ce sens qu'il est toujours possible de choisir + I, et — I, avec I, <I, de façon que l’on ait un système permanent; el ceci quel que soient a et h, pourvu que l’on ait 0<h<u, et

ny — À Da

6. Nous pouvons lirer la conclusion générale que loutes les fois que y a été trouve posilif, qu'il s'agisse d’une double file allernée ou symétrique de tourbillons dans un canal, avec a Z 0 et I, ZI, y est inférieur à l'unité. Ceci conlirme l’une des hypothèses, émises au début de ce chapitre, sur le rôle possible des parois, à savoir qu'elles interviennent non pas dans la création même des tourbillons (ce qui aurait conduit nécessairement à 71), mais exerçant leur influence, une fois les tourbillons détachés de l'obstacle. Cette hypothèse est d’ailleurs contenue implicitement dans la façon d’avoir posé le problème de la permanence, dans ce chapitre.

Il peut arriver aussi que la condilion de permanence conduise à y<0, notamment lorsqu'il s'agit de tourbillons alternés vérifiant les inégalités d (a) > 0 et x(A:=0, celle dernière exprimant l'étroitesse du canal par rapport à l'écartement relatif des files de tourbillons. Quelle que soit l'hypothèse que je fasse sur le rôle possible des parois, je ne pourrais interpréter physiquement

la possibilité d’avoir y <0, c’est-à-dire deux files de tourbillons ayant chacune le même sens giratoire. Peut-être y a-t-il d’autres moyens de produire deux files rectilignes de tourbillons que de déplacer un obstacle dans un liquide, comme nous avons procédé M. LuüNTz el moi (1) dans notre étude sur les files circulaires de tourbillons alternés. Mais lorsqu'il s’agit de moyens expérimentaux, dans lesquels on ne perd pas de vue qu'il s’agit essentiellement de sillages el non de configurations, créées par des moyens habiles mais artificiels, il est forcé d’avoir un sens giratoire opposé sur les deux files de tourbillons, qui se détachent derrière l'obstacle. Le résultat y < 0 ne saurait être interprété autrement qu'en disant que les tourbillons allternés, qui se forment dans ces conditions de a et h, ne peuvent pas être permanents.

7. Bien entendu, il ne suffit pas de prouver que 0<y<1 pour en conclure que le système de tourbillons en question existera effectivement. Il faut indiquer les conditions que doivent remplir ces systèmes, en plus de l'inégalité 0<7y<1, pour qu'ils constituent un système stable. On peut prévoir par intuition, après avoir lu les mémoires de Th. von KARMAN, H. LaAmB et surtout celui de L. ROSENHEAD (?) que la double file symétrique sera toujours instable, landis que la configuration alternée pourra être exceptionnellement stable, si l’on a

Un F(w,,a). La détermination de la fonction F constitue le problème de la

stabilité, résolu dans le cas du canal et pour a—0, par L. RosENHEAb. Le cadre restreint du présent mémoire ne me permet pas de faire l’analyse détaillée de ce travail. Je note, en attendant, que je ne crois pas que la méthode classique des petites oscillations soit capable de donner des résultats exempts de paradoxes, comme l'existence, non pas d’une courbe, mais d’une aire d’étendue finie, de stabilité.

8. Il me faut examiner maintenant les conditions de permanence d’une double file rectiligne (alternée ou symétrique) de tourbillons au voisinage d’une paroi unique. Les notations que je vais employer sont indiquées sur la figure 48. La file À contiendra les tourbillons + I;, la file B les tourbillons — L,. J’examine d'abord la configuration alternée et je pose pour simplifier l'écriture :

24 À MES et YPO cd

On trouve tout de suite, par l’application du principe des images, relatives à la paroi y —0, les composantes de la vitesse :

I I | ug=— 57 Cothr(s —s)+ 55 [Thrs+Th=s"], .

CD ire = Coth x (s° +s) + . [Thrs—Th=rs"],

\ DIW=—= ba =}

(1) Publications scientifiques du Ministère de l'Air, n° 71. (2) Philosophical Transactions, série À,, t. 288, 1929, p. 275.

On voit d’abord que la vitesse d’éloignement des tourbillons alternés de la paroi y— 0 est nulle. Quant à la condition de la permanence qui s'exprime par uxA — up, on est conduit, d’une façon analogue aux raisonnements précédents,

à poser :

L @(s",s) 2 re Ce F2 ! r p(—s",s) avec :

(26 bis) o(s",s)= Th xs + Th xs* — Coth x (s* + s).

Fig. 48

On doit avoir en outre s*>= 50 pour des raisons géométriques évidentes. Nous voyons que la dérivée de o (s*,s) suivant s* :

Hog(s s)ee 1 1 () Le rose Che Ce (S +s) est positive, avec un point de discontinuité pour s*——s, où elle devient + co.

Si l’on suppose que es est une quantité infiniment pelite, on a en posant

o(—s+Ee,s) = — Cothre à — —

ce qui permet de conclure que si e tend vers zéro par valeurs négatives, on a : (28) p(—s—0, s) — + 00.

Le cas où e lendrait vers zéro par valeurs positives, ne nous intéresse pas, puisque ce n'est que pour des valeurs de s* satisfaisant à [s*| = s que je dois examiner la variation de +(s*,s) et ®(—s*,s).

Si je pose maintenant s*=+ co, je trouve w(s*,s) & Th=s. Ceci élant, je fais varier s* de s à + co :

® (—s*, s) décroît de + > à Th xs g (s”, s) croît de 2Thzrs— Coth2zxs à Thzs.

Il est essentiel de connaître le signe de la quantité : 2Th rs — Coth27s

que je désignerai par U (s); le signe de y en dépendra visiblement. Comme :

1+Th2zs

Coth2rs=— 0 —

on a, en mullipliant par 2Thzs, quantité positive puisque s l’est :

(29) 2 Tbrs U(S)= 3 Th? 7rs — 1.

On a ainsi :

U (s) = 0 SLS

This 1 ou s = (,2096 (1).

Si U(s)> 0, autrement dit, si sx 0,2096, y reste positif dans l'intervalle SES Ro:

si U(s)<0 ou s<0,2096, y peut s’annuler dans le même intervalle,

puisqu'il en est de même de w(s*,s).

Pour déterminer alors la racine de + (s*,s), un calcul facile nous montre que l’on a :

(30) (Thzs + Thzrs*)o(s*,s) — Th? rs* + Th rs" Th rs + Th?rs — 1

ce qui fait voir que la fonction #(s*,s) s’annule pour une valeur s*. de s*, donnée par l’équation :

= A ïl 2 T4 (31) Th xs Thrs +A/1——Th?xrs.

2 4 Je n'ai gardé que le signe plus devant le radical, parce que le signe moins aurait conduit à une valeur négative de s*. Il faut, bien entendu, que s*c soit réel et supérieur à s. La quantité sous la racine carrée est positive si 2 4 ; SMS :

NE 1,1547; ce qui est automatiquement rempli si U (s) <0. Quant à la seconde condition s* > sou Th x se. > Th rs > 0, l'équation (31) nous donne : V3

el celle inégalité n’est autre que la condition LACS EAU!

Th rs <

(1) Pour tous les calculs concernant les fonctions hyperboliques, voir L. Porix : Formules et Tables numériques, Paris 1925.

En résumé :

1 me 19S1 hrs = TER numériquement si s > 0,2096, y est toujours positif el inférieur à 1. L’allure de y (s*) est celle de la courbe I de la figure 49: si s* croît de $ à + co, y part de la valeur zéro et tend asymptotiquement vers + 1, par des valeurs croissantes ; 20 si Thns € V3 2 numériquement si $<0,2096, il existe une valeur

critique s*. de s*, solution de l'équation (31) et telle que SIPS ES ENS GÉTIESt

négatif, tandis que pour s* allant de se à + co, y est positif et tend asymptotiquement vers + 1, par des valeurs croissantes (courbe IT de la figure 49). 9. On applique le même raisonnement à la double file symétrique de tourbillons au voisinage d’une seule paroi rectiligne. Si je considère une file A 1 1 (y "4 +5) de tourbillons + [, et une file B (y = a —5) de tourbillons — KL,

on a d’une façon analogue au système de la figure 48 :

= e [Coth x s + Coth x s*] — =. Coth x (s* — s)