DUR
[— Coth zrs + Coth x s*] + nu Coth x (s° + s)
HA
et on voil tout de suite que la vitesse d’éloignement des tourbillons de la paroi y —0 est nulle. D'autre part, on peut satisfaire à la condition de permanence uA — up, Si l’on pose, comme tout à l’heure :
(23) she
avec :
(33 bis) ÿ(s", s) = Coth rs° + Coth xs — Coth x (s* + s).
Le signe de la dérivée se détermine sans difficulté. Son expression .
; Leo (s;s) 1 il 34 nn qe Û \ ) T Ôs* Sh2 x s* fe Sh2 x (s + s)
nous apprend que :
dy (s', 5) dar 1) > ST (35) 0% (s”, s) . A S Den = OS —<— LÉ Pour s*——s, la dérivée de à est discontinue (la discontinuilé relative à
s*—0 ne nous intéresse pas). Il nous faut maintenant connaître les valeurs particulières d (s,s), ® (—s,s) et bd (+co,s). On a, après quelques calculs intermédiaires faciles :
VC) 3 Coth? rs — 1
PO ES Colliers
quantité toujours positive et finie, puisque Coth #s > 1. D'autre part d(—s,s) doit être considéré comme la limite de d(s*,s),
lorsque s* tend vers — s par valeurs croissantes. Supposant alors s*=—5s—e avec s > 0 et infiniment petit :
Ce © je 1 3 es
TE Ent ss, fs"; s)2tendeverseCoth rs "1.
Comme d(s*,s) et b(—s*,s) sont toujours positifs, il en sera de même de y. y est d’ailleurs zéro pour s*—s et égal à + 1 pour s*—=co. Et comme la différence : :
1 1 D'CS tr < — a ————— FOIE OR DER DS, SV (CS,s)—2Sh27s rs cena sx |
est négative si 0<s<5*, y restera toujours inférieur à l'unité. Si on fait donc varier s* de s à + co, y croît régulièrement à partir de zéro et tend asymptotiquement vers + 1 par valeurs croissantes.
140. La conclusion générale de l'étude, relative à une seule paroi, est complètement analogue aux résultats trouvés pour un canal. En particulier, je confirme encore une fois la première hypothèse émise au début de ce chapitre, que la paroi n'intervient pas dans la création même des tourbillons. Je trouve en effet y<1 dans tous les cas, alors que l'hypothèse contraire aurait entraîné y> 1. Quant à la condition exceptionnelle de la permanence 7<0, je fais la même observation que pour le canal, à savoir que dans ce cas, les tourbillons produits par le mouvement d'un obstacle dans un liquide, ne peuvent pas être permanents.
11. On peul ranger dans ce même ordre d'idées la recherche de la PEACE de quatre files de tourbillons dans un fluide libre. J’ai fait l'énumérafion LE différents systèmes permanents possibles à la fin du chapitre IV et je suis arrivé à quatre (fig. 34) (1); (2), (3) et (4), dont les deux premiers (1) el (2) se ramènent aux cas traités tout à l'heure, de deux files de tourbillons au voisinage d'une seule paroi. Ilne me reste ainsi à examiner que les configurations ( 3) et (4) dela figure 34, dont les deux files A,etB, sont les images de A et B, suivies d’un décalage longitudinal d'une demi-période 1/2. Les notations que je vais employer sont les mêmes que tout à l'heure et je suppose que les tourbillons de la file A ont l'intensité I, ceux de la file B l'intensité — [,. Pour que les systèmes soient permanents, il faut que les vitesses longitudinales des files A et B soient les mêmes. Si cette condition est remplie, il en sera manifestement de même des files A, et B;, pour des raisons de symétrie. Comme ces deux dernières files de tourbillons sont les images de À et B (à un décalage longitudinal près), les tourbillons B; auront l'intensité + I, et les tourbillons A, l'intensité — I.
J'examine d'abord la configuration (3) (fig. 34) et pour écrire les vitesses
j'utilise les formules (8) du chapitre IV, dont j'ai fait d’ailleurs usage plusieurs fois. Je trouve :
2lua =1,[-— Coth rs +Thzs|+I, Th r(s +s)
68) 2 lu — 1, [Coth rs + Th rs] — I, Th + (s* —s)
et de toute évidence va = 08 — (.
J'exprime la condition de permanence ua — up Ce qui me conduit à poser:
