CHAPITRE VII
La THÉORIE des TOURBILLONS dans un FLUIDE LIMITÉ et l'EXPÉRIENCE
4. La théorie des tourbillons alternés, que j’ai développée aux deux derniers chapitres, est une théorie approchée sur plusieurs points. Elle est approchée d'abord par suite de l'hypothèse que la viscosité est négligeable et les files illimitées dans les deux sens. Mais ces deux approximations, qu'on fait d’ailleurs couramment en hydrodynamique, ne sont pas les seules. Une approximation
aussi importante concerne la valeur du rapport des intensités des tourbillons
Y=T . Au chapitre V j'ai supposé arbitrairement qu'il était égal à un et j'ai
étudié toutes les conséquences qui découlent de cette extension de l’hypothèse y=1, plausible pour a—0, au cas où l’on aurait a£0. Au chapitre VI j'ai admis que y doit satisfaire à la condition nécessaire pour que le système de tourbillons soit permanent; et on se souvient de ce résultat paradoxal auquel j'ai été conduit, qu'il n’est pas toujours possible de déterminer une valeur positive de . |
Au point de vue physique, il est peu probable que l'hypothèse I, —1I, soit vraie pour a<0, tout en ne connaissant pas d’une façon rigoureuse le mécanisme de l’action amortissante des parois. Mais comme il est certain que celles-ci agissent sur les tourbillons, surtout quand ils se trouvent déjà détachés de l’obstacle, 7 doit rester inférieur à l’unité. C’est ce que j'ai trouvé au chapitre précédent. La question d'ordre physique que je pose maintenant est celle-ci : y a-t-il une raison précise quelconque, par suite de laquelle y doit avoir exactement la valeur à laquelle je suis arrivé précédemment, exprimant la condition de la permanence ? Je dois répondre à cette question par la négative, non pas parce que je connaîtrais une autre valeur de y, qui différerait de celle exprimant la condilion de la permanence dans un canal, mais simplement parce qu’une valeur bien délerminée de y est incompatible avec le fait que cette valeur ne peut même pas être constante le long d’une file de tourbillons à l’aval de l'obstacle. y serait en effet différent de 1 en aval, à une petite distance de l'obstacle et tendrait nécessairement vers une valeur encore plus faible, au fur et à mesure que les tourbillons s’amortissent, puisque les facteurs d'amortissement agissent différemment sur les deux files el accentuent encore la raison, par suite de laquelle y devait être inférieur à l’unité, dès la naissance des tourbillons.
Pour jeter quelque clarté sur ce problème, je dois me contenter de ne traiter qu’un cas approché, ne serait-ce qu’en attendant la possibilité de faire des calculs plus rigoureux. Je me propose de chercher les conséquences qui découlent de l'hypothèse d’avoir une valeur de y positive et inférieure à l'unité, mais n'élant pas nécessairement égale à la valeur particulière, trouvée au chapitre précédent et que je désignerai par y’. Par définition, cette valeur y’ de y sera celle qui correspond à la condition de permanence, c’est-à-dire à la condition d’avoir équilibré le système de tourbillons dans le canal.
Dans la pratique, la valeur réelle de y pourra être ou supérieure ou inférieure à y. On doit avoir d’ailleurs dans tous les cas 071, où l'égalité correspond au cas où l’on aurait a — 0.
Si je détermine alors l’équation des vitesses des tourbillons alternés dans le canal par la méthode que j'ai développée aux deux derniers chapitres, je peux écrire avec les mêmes notations et sans refaire les calculs intermédiaires, en tout point semblables à ceux qu'on peut trouver dans les raisonnements précédents :
4r 4r UA = —— UR L 1 Se, 1 1 1 D Msr20ss = )(1+26)o3 pOa+o)—p ral Ü l J CE CCC a 1 Æ 1 | C2) ie die 22. ph—p@a+e,) ph—p(i+26)«; 2 : 1 l Dee) Lx pd 6,) É PCa+o)—p(A+206) = : AUNRIES oe
après avoir posé à —I, —[, et 2A=I, +]I,. Comme je suppose que L et — I, sont & priori quelconques, à la seule restriction près d’avoir l'inégalité I, 1, on trouve d’abord, par l'examen de (1) que ua us. On voit en effet qu'il n'y aurait qu'un seul moyen d’avoir l'égalité des vitesses transversales ua et up des files À et B (voir les figures 36 et 37 du chapitre V), c’est d’avoir KE =, c’est-à-dire y — 1, à moins que ua et ug ne soient nulles toutes les deux à la fois, hypothèse compatible avec IL - L, mais qui demanderait, en vertu d'un passage
: : 1 à la limite opéré sur le second membre de (1), d’avoir ou bien 8 — -ou6i—0,
c'est-à-dire une configuration alternée où symétrique.
La première conclusion à tirer est alors ceci: toutes les fois que y 1 ouy y (voir plus haut), on doit avoir ua ur, autrement dit il n'est plus
possible d’avoir une rue de tourbillons qui conserverait sa largeur. Le sens de la
a. (LIL + : Serie 3 variation de la largeur de la rue ARE découlera d’ailleurs de l'équation (3) qui
dh M : da , er nous fait voir que DE est de même signe que PTE du moment que 2 À est positif
et différent de zéro, ainsi que à, dont la valeur en fonction de y, I, (1— y) est
positive et différente de zéro, puisque 0<7< 1.
D'où la seconde conclusion : la variation de la largeur de la double file alternée de tourbillons s'accompagne nécessairement du mouvement transversal de la ligne médiane æ— a des tourbillons. Si A croît, c’est-à-dire si la rue s élargit vers l’aval, les tourbillons s’écartent de l’axe de symétrie du canal et inverse-
ment.
METEO da 2. Il s’agit de savoir dans quelles conditions les deux dérivées AT et ST
seront positives ou négatives. Portons encore notre attention sur (1) et rappelonsnous que [L,<I,. Comme on a en vertu de (1) :
on doit avoir évidemment |ua|<<|us|, inégalité à propos de laquelle il ne faut pas oublier que les vitesses transversales doivent être de mêmes signes. Deux cas doivent alors être distingués que j'appellerai cas (&) et (B), suivant qu'on aura l’une ou l’autre des éventualités :
d (@) DTA UE LE 0 fret —e > 0 dh da (8) 0 > ua > up = 0 et An D
Je remarque d'autre part qu'on a au début, par hypothèse, 8 — 0, c’est-àdire une configuration alternée tout à fait régulière. Comme d'autre part l'hypothèse plusieurs fois mentionnée A<+2a—+uw, avec a>0 entraîne l'inégalité ph>p(2a+w;)>e, on voit que le crochet du second membre de (1) est une quantité finie et négative. Le signe de ua et up sera alors donné exclusivement
1 : ) " par la fonction 4 p( +26) w3, qui est nulle au début, par suite de l'hypothèse que l’on a 6—0. Or si 6, partant de la valeur zéro, devient positif, la grandeur
1 : 1 — p (1 +26), sera posilive, tant que 0 n'aura pas atteint la valeur —. Cette i J 3 P ) Il D)
hypothèse d’avoir << est raisonnable, si je me borne à n’examiner que le mouvement initial du système, exprimant la {endance à un mouvement éventuel; une recherche plus poussée n’aurait qu'un intérêt théorique et ne contribuerait nullement à résoudre le problème pratique, posé dans ce chapitre. Dans ces conditions, on voit que si 0 croît (ou décroît) à partir de zéro, les vitesses ua et ug seront négalives (ou positives) respectivement. Ceci correspond au cas (8) que je peux traduire en disant que la double file alternée aura la tendance à se contracter et à se rapprocher de la ligne médiane du canal. Si par contre 8 décroît à partir de zéro, - P (1 +256)w, restera négatif, tant que 0 > a ce qui nous conduit au cas (x) dont la conséquence est l'inverse du cas (B). Le cas (a) exprime en effet la tendance de la rue de tourbillons à se dilater à l'aval de l’obstacle et à s’écarter de la ligne médiane du canal. À ces mouvements principaux je dois encore ajouter le fait qui est la conséquence de la variation de 6, à savoir que les mouvements («) et (8) s’accompagnent respectivement
J? u x r . . . 2 (] Ge d’une tendance à un décalage longitudinal relatif —+ des files À et B: ce 1 2 décalage est négatif dans le cas (x) el positif dans le cas (8). Pour prévoir dans lequel des cas («) ou (B) on se trouve, la théorie développée dans ce mémoire est tout à fait insuffisante. Néanmoins l'équation (2)
nous montre que si y Z y" on doit avoir g (y) > g (y) =0. On vérifie en effet
facilement que si 0<hA<w, — 2a, le facteur de Di dans (2) est négatif et celui de A positif. Or on voit tout de suite que si y (compris entre 0 et 1) croît, Ô €
— — | I, L'augmentation de y (compris toujours entre 0 et 1) aura alors comme effet sur (2) de faire décroître le coefficient du terme négatif et de faire croître celui du terme positif. I] en résulte bien que :
re LE : 2A y est positif et décroît, tandis que I —=1{—+7y est positif et croît.
Re dô ss à Ainsi, Si yY=> 7’, di Sea positive, donc 0 sera une fonction croissante du
temps, tout au moins au début de sa variation; et inversement si l’on a y <Y!. Il serait d'un très grand intérêt de pouvoir prédire laquelle des inégalités aura lieu relativement à y, dans un cas expérimental donné. Cette prévision nous renseignerait si on se trouve dans le cas (4) ou (B) suivant que l’on a y<<7y’ ou y> y! respectivement.
Tout ce que je peux dire à ce sujet, c’est que s’il existe une valeur critique a* de a, solution de à (a*) — 0, dont l'existence est elle-même conditionnée par l'inégalité y (A) < 0 (voir chapitre VI), toutes les fois que a > a*, y’ sera négatif. Comme y doit être positif, il est certain qu'on aura y>Yy, d’où g(y)>g (r) et = > 0. On sera dans le cas (6) avec toutes les conséquences qui en résultent.
Si par contre y (h) => 0, ce qui entraîne une valeur toujours positive de y’, quelle que soit la valeur particulière de a, rien ne peut m'indiquer, en me basant sur les développements précédents, si je dois avoir y < 7’ ou y > y’, autrement dit si je serai conduit à trouver une tendance des tourbillons à se mouvoir suivant la modalité («) ou (B). Seule l'expérience peut me donner des renseignements ace Sel
Je dois remarquer également que les éléments théoriques me manquent pour dire si la largeur À de la rue de tourbillons conduira à une fonction x (A) positive ou négative. La détermination de cette fonction exigerait au préalable la solution du problème de la stabilité que je n’ai pas abordé dans ce mémoire.
Sans faire la discussion relative à la valeur initiale, égale à DJ de 6, qui
caractériserait la configuration symétrique, peu intéressante dans la pratique parce que c’est une configuration instable, je peux résumer les développements ci-dessus en disant que du moment que la valeur réelle de y est différente de y et de l’unité, on doit avoir nécessairement une double file de tourbillons, convergente ou divergente à l’aval de l'obstacle, sans que je puisse prévoir d’une façon précise dans lequel des deux cas je me trouve; à moins que je n’aie x (h) <0
He
0) En h à) certainement le cas (B), c’est-à-dire une double file convergente, avec la tendance
à se rapprocher du milieu du canal.
et a ax avec d (a*) —0 (voir chapitre VI), conditions qui caractérisent
8. Je reproduis ici quatre bouts de films, donnant les images successives des tourbillons dans un canal, à la fréquence de quatre-vingts images par seconde. Tous les quatre films correspondent à un canal de largeur w, —7,75 cm; le liquide est de l’eau à une température de 1995 C. L'’obstacle est une lame à faces planes et parallèles, d'épaisseur 0,2 cm, arrondie aux deux bouts. Son mouvement avait lieu parallèlement à son plan médian de symétrie, avec une vilesse uniforme de 18,6 em/s. L’occultation est circulaire. On avait en outre pour :
les figures 52 et 53 a —2,88 cm;
la figure 54 a = 1,88 Cm;
la figure 55 a = 1,10 cm.
La pelitesse des images ne permet pas de voir d'une façon précise la variation de a el À en fonction de la distance de l'obstacle vers l’aval. Toutefois j'ai extrait deux images isolées des figures 52 et 54 el je les ai agrandies (voir figures 39 et 40 du chapitre V). Les mesures micrométriques effectuées sur ces images, révèlent un élargissement nel de la rue de tourbillons vers laval de l'obstacle. Si je désigne par Am la largeur de la rue, correspondant à un rang m, compté à partir de l'obstacle suivant les tourbillons consécutifs, placés alternativement sur les files À et B, je trouve un élargissement de :
—={,8 pour les tourbillons des Jigurest52tel 6542/5800 n Le — 8,8 pour les tourbillons de la figure 54 (a — 1,88 em).
L'indice m correspond au premier tourbillon du sillage, visiblement détaché de l'obstacle. Il est vrai que le premier cas, avec son élargissement ne dépassant pas 1:2 sur vingt tourbillons consécutifs, est peu convaincant puisqu'on pourrait l’attribuer à une fluctualion; mais les tourbillons de la ligure 54 présentent un élargissement considérable, dont la valeur égale à 8,8 sur vingl lourbillons consécutifs dépasse certainement les fluctuations de la posilion des tourbillons. Cet élargissement ne peut pas être attribué à une autre cause qu à celle qui découle de la valeur de y Z y’; en particulier, il ne provient certainement pas d'une accéléralion ou un ralentissement éventuel du mouvement de lobstacle. La vitesse de celui-ci a été mesurée au diapason et trouvée uniforme à moins de 1 % près sur un parcours utile de 30 cm. |
IT est inutile de reproduire d’autres films el d’autres mesures. L'élargissement de la rue de lourbillons à été constaté systématiquement et avec des valeurs sinon supérieures, mais sensiblement égales à celles de la figure 54 pour vingt tourbillons conséculifs. Je n'ai jamais trouvé une double file alternée en contraction. J'en lire la conclusion, en vertu de l'équation (2) qu'on a toujours 0<y<7y <1et non y=7Y. En d’autres termes ceci veut dire que l’action amorlissante des parois n’est pas seulement sensible, mais elle est même plus forte
que ne l’exigerait le maintien de la double file de tourbillons alternés dans un élat permanent.
4, Lorsqu'on a une double file alternée de tourbillons dans un fluide, limité par une seule paroi rectiligne, on peut écrire, sans changer les notations des chapitres précédents et sans indiquer en détail les calculs intermédiaires (voir figures 41 et 42) :
/ , She et ; = Il ———Û——— +], ———— —|1,0Coth —(2a—h) 7 Ch 27 + cos2x0 ChŸF€ + cos2x :
du Dee sr :
LT Rene at Jeu eo +R) Ch + cos270 Ch " + cos270 dE : SERRE TN sin 2x0 a — - =— = 7 0.
L L Eee DEL PUT Er
Si l’on tient compte alors des relations évidentes :
A 0 ne FT RUE
(5) LAN Eee
| = (LA + vB) —
on {rouve :
1 da 1 dh 6 FA RER de OR (6) Atuat Ô t dô Ô 27h / 1 1 TOP Sn Re dt 2 l Ch RSS Ch 74 —ch2rR om l l l CTI. 1 1 ANS h — l (en to 2 GE ar)
avec ê=[, —I, et 2A—I +I,. La discussion des équations (4) à (7) est en tout point analogue à celle de (1) à (3) qui se rapportent aux tourbillons alternés dans un canal rectiligne. On trouve encore que si y=>7 avec JE 0)
; dô on a g (y) >0 et par conséquent Tite. 0. On aura ainsi :
dô ë k H > DISC
dô .
